CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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proportion 



A 2n :d = A n :(d + Vd* + A n *), (126) 



où d représente le diamètre du cercle. Mais Archimède ne calcule pas 

 An, A-zn-, etc. en partant d'une valeur fixe pour d; il calcule des nom- 

 bres proportionnels pour A n et d, A 2n et d, etc., de telle sorte que les 

 nombres proportionnels pour A n , A 2n , etc. restent toujours les mêmes, 

 mais que le nombre proportionnel pour d augmente. Cela revient à 

 attribuer à A n une valeur fixe A et h. chercher le diamètre d n du cercle, 

 pour lequel A n = A. La proportion (126) devient ainsi la formule de 

 duplication 



• d 2n = d n + V d n 2 + A 2 



Pour le calcul des côtés des polygones inscrits Archimède introduit 

 la ligne c n , qui est la corde de Varc qu'il faudrait ajouter a celui sous- 

 tendu par a n pour en faire une demi-circonférence , et il fait usage de 

 la proportion suivante : 



a 2n : c 2 n : d = a n : (d + c n ) : V a n 2 + (d + e,-,) 2 *)■ 



Ici encore Archimède ne donne pas une valeur constante à d, mais 

 déduit de nombres proportionnels pour a n , c n et d des nombres propor- 

 tionnels pour a 2n , °2n et d, etc. 



On pourrait également conserver ici le même nombre proportionnel 

 a pour a n , a% n , etc., c. à d. attribuer à a n une valeur constante a, indé- 

 pendante de n. La proportion (127) donnerait ainsi : 



*) Archimède commence par poser n = 6 et par attribuer à d n une valeur trop 

 petite. Il trouve de cette façon, et en arrondissant toujours par défaut, des 

 nombres trop petits pour d 2n , c? 4n etc., ce qui lui donne une valeur trop grande 

 pour le périmètre du polygone circonscrit à 96 côtés (le dernier qu'il considère), 

 ainsi qu'il est nécessaire pour pouvoir en déduire une limite supérieure pour la 

 circonférence du cercle. 



2 ) Si AB est un diamètre, AC un côté du polygone régulier inscrit à n côtés 

 (de sorte que BC = c jt ), D le milieu de l'arc AC et E le point d'intersection 

 de AC et I?D, la façon dont Archimède déduit la proportion a 2n '■ c 2n = a n : 

 (d + c n ) peut être rendue comme suit. A D : BD = EC : BC = AE:AB = (AE + 

 EC) : (AB + BC) = AC: (A B + BC). Remarquons que la proportion, mise sous la 

 forme a 2n (d + c M ) = a n c 2n , se déduit immédiatement du théorème deProLÉMÉE, 

 appliqué au quadrilatère inscrit ADCB. Remarquons encore que, pour pouvoir 

 considérer la grandeur c n , il faut supposer n^>2. 



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