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F. SCHUH. 



C-ln ~ d n + Gn , 



chn = Va* + (d n + c r ) 2 *)■ 



Comme A 2 et a 2 seraient connus une fois pour toutes, chaque dupli- 

 cation de n exigerait une élévation au carré et une extraction de racine 

 carrée, aussi bien pour les polygones circonscrits que pour les polygones 

 inscrits. 



Mais il est à remarquer que pour les polygones inscrits Archimède 

 n'attribue pas à a n} a-z,,, etc. le même nombre proportionnel; il simplifie 

 quelquefois les nombres proportionnels pour a n et c n par division par 

 un même nombre. 



63. Procédé de van Ceulen. Dans son ouvrage „ Van den circkel" 

 Ludolph van Ceulen calcule les périmètres, tant des polygones inscrits 

 que des polygones circonscrits, à l'aide de la grandeur c n mentionnée 

 au n°. 62, et que van Ceulen a appelé le complément de a n . Son travail 

 commence par une proposition, qui se traduit par la formule 



V \ d{d — c n ) = a 2n . (128) 



Commet permet de trouver^ (en effet, eo// = ' ' d 2 — a ln - = \ %d(d-\-c n )) 

 on peut s'en servir pour calculer a^ n , a% n > etc. 



Remarquons que Snellius aussi commence son ouvrage „Cyclome- 

 tricus" par la même proposition, mais il en donne une démonstration 

 plus simple que van Ceulen 2 ). Ensuite, Snellius donne comme Pro- 

 positio II la relation 



1 ) Archimède commence de nouveau par poser n = 6 et par attribuer à c n 

 une valeur trop grande. En arrondissant chaque fois par excès, il trouve des 

 valeurs trop grandes pour c 2n , d 2n , etc. et ainsi une valeur trop petite pour 

 le périmètre du polygone inscrit de 96 côtés, ainsi qu'il convient pour en 

 déduire une limite inférieure de la circonférence du cercle. 



2 ) Voici comment Snellius démontre sa proposition. Soient 0 le centre et 

 AB un diamètre du cercle; soient encore AC un côté du polygone régulier in- 

 scrit à n côtés et D le milieu de l'arc ^167. Si E est un point de AB, situé 

 de telle façon (entre A et B) que BC = BE, il résulte de la congruence des 

 triangles BDC et BDE que DC — DE. En outre, comme DC = DA, on a 

 DE = DA. Le triangle EDA est donc isoscèle et par conséquent semblable à 

 DO A, d'où résulte que EA : DA = DA : OA ou i)A 2 = OA. EA = OA (BA—BC) 

 ou a 2n 2 = %d(d— c n ). 



