CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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c-2n 2 = hd(d+o n y), (129) 



qui se déduit immédiatement de la première proposition en exprimant 

 a2n au moyen de c-ia- Formulée explicitement, la proposition (129) ne 

 se trouve pas chez van Ceulen, mais comme cet auteur calcule c-m 

 sous forme de radical en se servant de la relation c-m — ^ d 2 — a%? , 

 avant de passer à un calcul numérique de a 2 n, sa façon d'opérer revient 

 en définitive à une application de l'équation (129). 



Si nous prenons le rayon du cercle comme unité, ainsi que nous l'avons 

 toujours fait dans ce qui précède, et comme van Oetjlen et Snellius 

 le font aussi, c. à d. si nous posons d = 2 , nous trouvons: 



Entre les compléments c n et c-m H existe la relation 



02n == (130) 



Cette relation remplit la rôle de formule de duplication. On voit qu'elle 

 est beaucoup plus simple que la formule 



a 2n = V Z — V~ï—a n 2 , 



qui exprime a± n en a n et qui est la formule de duplication bien connue, 

 que Ton trouve dans tous nos traités de planimétrie élémentaire actuels. 

 Il serait donc recoin mandable de remplacer cette dernière formule par 

 l'équation (130), qui est beaucoup plus simple et se prête beaucoup 

 mieux aux calculs numériques. 



Si du complément on veut passer au côté du polygone inscrit, on 

 peut faire usage de l'équation (128), qui, pour cl — 2, devient: 



J ) Cette propriété peut encore être déduite aisément de la proportion a 2n :c 9n 

 = a n : {d + c n ) d'ARCHiMÉDE; il suffit de songer que a 2n \ \a n = d\ c 2n . 



Remarquons encore quejusqu' à un certain point l'équation (129) est équivalente 

 à l'équation (7) de Gregory. Car, si l'on met (129) sous la forme 



ou 



,, , c 4n l } 2n , c 2n Pn ., , ,. . - 



et que I on remplace — — ■ par et — — par , cette eq uation se transform 



d Pi m d p 2n ' 



en (7). 



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