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F. SCHUH. 



%=V2-c„. (131) 



Le procédé de van Ceulen revient donc à calculer le complément du 

 côté d'un polygone avec un grand nombre de côtés par V application répétée 

 de (130), et puis, au moyen de (131), le côté d'un polygone d'un nomhre 

 double de côtés. 



Comme chaque redoublement n'exige qu'une seule extraction de racine, 

 le procédé de van Ceulen est préférable à celui d'ARCHiMÈDE. 



Y an Ceulen calcule le côté A 2n du polygone circonscrit à In côtés 

 au moyen de a 2n à l'aide de la formule: 



A*n = (132) 



C2n 



que Ton déduit directement de la figure. Comme pour le calcul de a 2n 

 on n'a pas eu besoin de calculer c<z n , l'application de (132) exige d'abord 

 ce calcul de cm au moyen de (130), de sorte que cJiez van Ceulen le 



calcul de A^n fen étant trouvé} exige une extraction de racine et une 



(133) 



Réduite à des périmètres complets l'équation (132) s'écrit 



7} 2jt? 2 « 



•in 



C2n 



ce qui est préférable à (132), puisque p-m doit être calculé aussi pour la 

 recherche de la limite inférieure et qu'on évite ainsi une deuxième mul- 

 tiplication par 2ra (comme l'exige (132)). L'équation (133) résulte aussi 



de jT9n = par la remarque: 



Pu 



Pm ' pn = a 2n ■ y a n — 2 : c 2n • (134) 



Mais en appliquant l'équation de Gregory on peut calculer avec la 

 même facilité P^ n . On trouve alors, en songeant à (134) : 



P2n + Pn 2 + C ln 



On voit par là que le calcul de P^ n au moyen de (135) demande 

 exactement autant de travail que celui de P 2 n au moyen de (133). Van 

 Ceulen aurait donc pu avantageusement appliquer l'équation de 

 Gregory 1 ). 



*) Même sans faire usage de l'équation de Gregory, van Ceulen aurait pu 

 obtenir l'équation (135), ou l'équation correspondante 



