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Theor. XI. Mais on démontre facilement qu'il en est ainsi pour toutes 

 les valeurs de n; il suffit pour cela de prouver l'inégalité 



P2n (5 p 2n + Pn) ^ P2n n 

 o {pin + Pn) Pn 



§12. Comparaison de deux expressions approximatives. 



65. Différence des expressions approximatives. Nous allons dé- 

 montrer le théorème suivant : 



Lorsque pz n /(—) etpixf Ç — sont deux expr. appr. d'ordres 



\p2nS \p2n' 



m et m {m > m) , V expression 



f ( g) —f[x) 

 (1 — x) "' 



a, pour x = 1, une valeur limite finie qui, pour m! ^> m, diffère toujours, 

 et pour m = m en général, de zéro. 



Il résulte notamment de (105) que, si l'on pose — == x, 



Pin 



?j7- 



^JnZ^jH^L. (137 



De même 



Dans ces expressions : 

 et les deux nombres G(I) et Gr'(l) sont finis et différents de zéro. 



l ) Admettant l'inégalité et élevant les deux, membres à la troisième puis- 



n- r * ZTpJj^n + Pn)' nn trQllve . 

 sance, puis multipliant par s ou irouu - 



M 125 ^2n 3 + 75 ^2n^n + 15 PnP'an* + Pn) 



<27 P 2n (P2n + 3 P2n Pn + 3 PlnPn ±Pn)i • 

 0 < 27 p 2n * - 44 p. 2n > p n + 6 p 2w 2 p w 2 + 12p 2nPw » - Pn " , 



0 <(*>2n-Pn) 2 (2 7 iW + 10p 2n p n -p n 2 ), 



ce qui est évident. 



