ss 



E. SCHUH. 



. f'{x) f(x) 



f\x) — f{x) est du m me ordre pour x == 1 , e. à d. que ■ — — 



{ 1 x) ' 



a pour x = 1 une valeur limite finie et différente de zéro. Si la limite 

 du rapport des erreurs des deux expr. appr. est égal à 1 J ) et que f'{x) — 

 f{x) ait un ordre pour x = 1 , cet ordre est supérieur à m 2 ). 



67. Inversion du théorème précèdent. La théorème du u°. 66 peut 

 être renversé comme, suit: 



Si p-2n fÇ— ) est un e expr. appr. du m me ordre et que f'(x)— f{x) soit 

 \p-2n/ 



1 ) En d'autres termes, si m = m et G'(l) == G(l). 



2 ) Si l'on suppose a priori que f\x) — f(x) a un ordre (p. ex. en admettant 

 que f(x) et f'(x) sont des fonctions rationnelles), la preuve peut être fournie 

 plus directement en ne considérant pas l'erreur des expr. appr., mais en par- 

 tant de la définition primitive de l'ordre d'une expr. appr. (voir § 8, n°. 39). 

 Si l'on pose f'(x) — f(x) = v(x) et que v(x) soit du t me ordre pour x = 1, on a 



,.' v(x) . , ' r(2x 2 — 1) ' .• v(2x 2 —l) . 



Um ■ — == A et Um — = Um — — A. 



x=l{l—xY x=l [1 — (2a; 2 — l)] c a>=l (2 — 2^)' 



Il résulte de cette dernière équation: 



KOT »(^--i) = 4 , 



d'où, eu égard à la première équation: 



lim = _ (4 « _ 1} A ; 



x=i (1 — x) 



de sorte que v(x) — xv(2x' z — 1) est du t me ordre pour x — \. 

 Il résulte en outre de v(œ) = f\x) — f{x) : 



v(x)— Xc(2x* — 1) _ f\x) — xf'(2x 2 — 1) { _ r n - - m _ f(x) — xf(2x 2 — l) 



(1-- x) m (l — xf"' (1 — 



donc pour m ^> m : 



Um v^-x^-l)^ a 

 x=i (l — x) m 



et pour m' = m 



Um ^)-*-(^ = c - (1) _ 6(1) . 



x=i (l—x) m 



Comme nous avons vu que, pour x = 1 , v(x) — xv(2x 2 — 1) est du même ordre 

 que y (ce), donc du t mQ ordre, et que G(l) ne peut être nul, mais bien G'(l) — G(l) 

 il s'ensuit que pour m ^> m on a t = m, et que pour m' = mona en général 

 — m, mais t^>m dans le cas particulier où G'(l) = G(l). 



