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2îT 



,. P2n f [X) 6(1) 



En vertu de ce que nous avons trouvé au § 9, n°. 49, nous pouvons 

 conclure que pznf'(^-^ a un certain ordre (donné par l'exposant de 



G (1) 



1 — x). sauf dans le dernier cas si en outre — — - — L = 0. 



§ 13. Comparaison de deux expressions approximatives 

 rationnelles. 



68. Existence d'un ordre pour _/"(#) — f{x)- Lorsque nous avons 

 affaire à des expr. appr. rationnelles, il est satisfait à la supposition, faite 

 au n°. 66, que f\x) — f[x) a un ordre pour x = 1 . En effet, f\x) — -f(x) 

 est alors une fonction rationnelle de x, qui est divisible par 1 — x ou 

 une puissance (à exposant entier) de 1 — x. L'ordre de f'{x) — f{x) 

 est alors V exposant de la plus liante puissance de 1 — x , par laquelle 

 f'(x) — f{x) est divisible, donc l'exposant de la plus haute puissance 



àep? n — p n , par laquelle on peut diviser P2n/Ç—) — pinf (—) • 



\pinS \pins 



69. Grandeur de i/ordre de f'{x) — f{x). Le développement enfrac- 

 tion continue d'une expr. appr. rationnelle, dont il a été question au §10, 

 convient particulièrement bien pour déterminer Tordre de t /'(V) — f{x)- 



Considérons, en effet, le développement (117) pour p* n f(^—) , mis 



\p2nS 



sous forme abrégée 



|Q„a 2 , Qi\, (140) 



où les fonctious indicatrices Q n Q 2 ,. . . ., Qi sont des fonctions homo- 

 gènes, rationnelles et entières (non divisibles par pin — pn) dej^et p n , 

 respectivement de degrés a, x , . . ., où z v = 1. La signification 

 de l'expression (140) est alors définie par les équations suivantes: 



|Qi| = Qi ' 



