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F. SCHUH. 



yf v - 1 - 



' LQ î *Q 3 \...Qj>Q J + i Q' J + J l ■ 



72. Conclusion. Il résulte immédiatement du résultat formulé au 

 i°. 71: 



Si 



* Pin f(^~^j—\^\> Q-n- - 'j Qi) est une expr.appr. rationnelle donnée 



et p-2n f\ ) une autre, qui est identique a la première dans les j pre- 



miéres fonctions indicatrices , mais en diffère par la (j -f- l) me (ce qui 

 peut encore consister en ceci, que cette (j -f- l) me fonction existe dans Vune 

 des deux expressions, mais fait défaut dans V autre), f'(x) — f(x) est, 

 pour x — Y, au moins de Tordre 2(1 -f- a 2 ~t~ ^3 H~ • • • • ( ce ^ ordre 

 peut être atteint 2 ), à condition quej^> 0) et au plus de V ordre 2(1 + 

 # 2 -|- # 3 -\- . . . . -f- <%j -j- a,j + 1) — 1 (a condition que j <C i). Lorsque 

 j <C i le plus haut ordre de f'(x) — f(x) est atteint et Vest uniquement 

 quand la fonction Q'j + i existe (donc sii'~^>j) et est du même degré 

 Xj + i que Qj + i et qu'en outre Q'j + i — Qj + i est divisible par 

 (p-2n~pnY'J + 1 • Lorsque j = i V ordre de f'(x) — f(x) peut prendre 

 toute valeur égale ou supérieure à 2(1 + x. 2 -j- oc z -f- . . . . -f- xj) 3 ). 



x ) Par une petite transformation on pent faire que ce résultat est encore 

 valable pour j = 0. En effet, lorsque j>>0 les fonctions et Q L ' sont identi- 

 ques, et Ton peut mettre l'expression sous la forme 



( _ iy T , Q> Q / U . 1 . 



Pour j = 0 ceci devient [U} 1 , ce qui est effectivement la valeur que prend dans 

 ce cas, pour a? = l, le quotient de la division de f{x) — f(x) par la plus haute 

 puissance possible de (1 — x) (ici la première puissance). 



2 ) Au sujet de l'existence de la valeur minimum 2(1 + a 2 + u 3 + . . . de 

 l'ordre de f\x) — f(x), lorsque j>0, deux cas sont à distinguer. Si « ?+1 >l, 

 cette valeur minimum est atteinte et l'est uniquemeut si a'j +l = l. A-t-on 

 «. +1 =1, la valeur minimum est atteinte sia' J+1 >>l, mais aussi si x'- +1 = 1, 

 à condition que Q' j+i —Q j+ i ne soit pas divisible par p 2n — p n . Si i = 0 , 

 l'ordre de f'(x) — f(x) ne peut pas prendre la valeur 2 (1 + « 2 + « 3 + • • • + 

 actuellement nulle, puisque f'(x)—f(x) s'annulle pour a? = l; dans ce cas l'ordre 

 de f'(x) — f(x) est égal à 1. 



3 ) Considère-t-on (comme toujours) comme égal à + co , dans le cas j = i 

 aussi l'ordre de f'(x) — f(x) ne peut pas dépasser la valeur 2(1 + « 2 +« 3 +. . . 



