CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 99 



Inversement : 



Lorsque f\x) ■ — ■ /(#) est, pour x .= 1 , d'un ordre plus élevé 

 que 2 ( 1 -\~ ûi 2 -f- <z 3 -f- . . . . -f- <xj ) — 1 moins élevé que 



2 ( 1 -f- # 2 -[" oc z -\- . . . . -f- tZj -\- &j + 1), j?>2 U f\^—j est identique a 



P2n f(^ L ) P ar l es j premières fonctions indicatrices , ruais s'en écarte 



par la [j -f- l) me *); si j — i, on doit considérer #7 + 1 comme ayant 

 la valeur -f- 00 • Sait-on seulement que V ordre de f\x) — ./"(a?) est supé- 

 rietir a 2 (1 -f- #2 ~f~ ^3 ~T~ • • • • ~f" &j) — 1> ne P eu l conclure quà 

 V identité des j premières fonctions indicatrices. 



§ 14. Ponctions indicatrices remplaçables et irremplaçables 

 d'une expression approximative rationnelle. 



73. Expression de l'ordre d'une expression approximative. 

 Nous considérons Fexpr. appr. rationnelle 



P2nf(^)==\Q i ,Q 2 ,...,Qi), (151) 



dont les fonctions indicatrices ont les degrés 1, où 1} . . . ., »i et dont 

 Tordre est m. Nous formons la suite des nombres 2 (1 -f- <z 2 -J- #3 + . • 

 . . -f- u s ) pour des valeurs de s allant de 0 à i, donc la suite 



0, 2, 2 (1 + a 2 ), 2 (1 + H + % X ..'., 2(1 + ^+^3+...+ (152) 



Le plus petit de ces nombres est 0 et n'est donc pas plus grand que 

 m (puisque m est au moins égal à 1). Mais dans cette suite il peut y 

 avoir jnusieurs nombres qui ne sont pas plus grands que m et il peut 

 même en être ainsi pour tous les nombres de la suite (152). Or, soit 



S (! + «, + «, +... + *,) . 



le plus grand des nombres (152) qui n'est pas plus grand que m, de 

 sorte que: 



2(] +* 2 +*3 -f ...+*/) 



2 (1 +% + % + . - ■•+■*; + + (153) 



+ — 1. Mais, tandis que l'ordre peut prendre cette valeur pour j -<i, il 

 ne le peut pas pour j = i. 



l ) Ceci est encore vrai dans les cas extrêmes j = 0 et j = i. 



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