CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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75. Première fonction indicatrice remplaçable. Il est aisé de 

 montrer que Ton peut faire différer la (/ + l) me fonction indicatrice 

 de (156) de celle de même rang de (151) (ce qui comprend également le 

 cas où (151) n'a pas de fonction indicatrice de ce rang, mais qu'on en 

 donne une à (156) ou inversement), sans que Tordre de (156) s'abaisse 

 au-dessous de celui de (151). Pour le prouver nous considérons Texpr. 

 appr. 



P^/'Q£)=\Q I ,U 2 , .■■,Qj,Q J + i + (P2n-p„P + % (157) 



lorsque/ <^i, et Texpr. appr. 



Pinf (^) = je, , , ■ ■ ■ , Q, I, P-zJ + '} , 



lorsque j == i. D'après le § 13, n°. 71,f'(x) — f(x) est, pour x , = 1, 

 de Tordre 1 + + • • • • + + 1 dans ^ e premier cas, 



de Tordre 1 + 2<% 2 -f- 2# 3 H- ^ + 1 dans I e second cas, 



donc, dans les deux cas, d'un ordre qui est, d'après (154) et (155), au 

 moins égal à m. Il suit ainsi du résultat obtenu au § 12, n°. 67, que 



P2n f'Ç—j est dans les deux cas du m me ordre ou d'orde plus élevé. 



\pln' 



Comme p> n f(^S et p 2n f(—*) diffèrent par la (j + l) me fonction 



indicatrice, on trouve donc: 



Etant donnée mie expr. appr. rationnelle Q 2 , . . d'ordre 

 2 (1 -f- &i ~\~ #3 ~t~ • • • + #/) -f - ^ 3 oh 0 < à <C 2 + i , on peut tou- 

 jours former une autre expr. appr. rationnelle du même ordre on â? ordre 

 pjlus élevé, qui diffère de la première par la{j -f- \) me fonction indicatrice. 



On voit par là que pour i >> j la (j -f- l) me fonction indicatrice de 

 (151) n'a pas la propriété qui, en vertu des résultats du n°. 74, est 

 propre aux j premières fonctions indicatrices et que nous avons appelée 

 irremplaçabilité. Pour cette raison nous dirons que la (j -f- l) me fonction 

 indicatrice est la première fonction indicatrice remplaçable. 



Ainsi que nous Tavons montré tantôt, on peut apporter à cette pre- 

 mière fonction indicatrice remplaçable une modification, telle que Tordre 

 deTexpr. appr. n'est pas abaissé. Nous verrons au § 16 que cette modi- 

 fication peut être choisie aussi bien de telle façon que Tordre reste le 



