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F. SCHUH. 



même *), que de telle sorte qu'il s'élève (voir la note 1 à la p. 115). Mais 

 dans certains cas on peut choisir une modification telle que l'ordre 

 s'abaisse 2 ). 



76. Fonctions indicatrices arbitrairement remplaçables. Suppo- 

 sons que pour l'expr. appr. (151) on ait y <Zi, c à d. qu'il y ait une fonc- 

 tion Qj+i; nous allons examiner l'influence d'une modification des fonc- 



1 ) Mais on ne pourra pas toujours introduire une modification telle que la 

 limite du rapport des erreurs de l'expr. appr. primitive p 2n f( "~~ ) et de l'expr. 



appr. modifiée p 2n fi J soit égale à 1. Car, en vertu du § 12, n os . 66 et 



67, il faut et il suffit pour cela que l'ordre t de f'{x) — f(x) soit plus grand 

 que m. Or, en vertu du §13, n°. 72, la plus grande valeur que t puisse 

 prendre lorsque j <C i est égale à 2(1 + x 2 + ^ 3 -f- • • • • + ^ + 1) — 1 1 donc 

 égale à m + 2« J + 1 — £ — 1 d'après (154). Et (puisque ^<2^ +1 ) ceci est 

 toujours plus grand que m, sauf lorsque £ = 2^_|_ 1 — 1, donc m = 2(1 -j- ^ 2 + 

 a 3 -f- • • + — 1- Dans ce cas la modification de la première fonction 



indicatrice remplaçable ne pourra pas être choisie de telle sorte, que le rapport 

 limite des erreurs devienne égal à 1. 



Lorsque j=i, t peut (d'après §13, n°. 72) prendre toutes les valeurs plus 

 grandes que 2(1 -j- # 2 -f- à 3 + ....+ x j) — 1 et devenir par conséquent plus 

 grand que m. Comme est alors -f- co et que par conséquent l'égalité 



m = 2(1 -f- a 2 -f- oc 3 -f- .... + ^ + 1) — 1 n'est pas satisfaite, on a: 



La première fonction indicatrice remplaçable Qjj r \ pourra toujours être 

 modifiée {éventuellement introduite, dans le cas où elle manquerait) de telle 

 façon que le rapport limite des erreurs de Vexpr. appr. modifiée et de 

 Vexpr. appr. primitive soit égal à 1, sauf dans le cas où V ordre de Vexpr. 

 appr. primitive est égal à 2(1 -f" « 2 + a z -f- .... -f- ot- _j_ 1 ) — 1. 



2 ) Il faut pour cela que l'ordre t de f(x) — f{x) soit plus petit que m. 

 D'après le §13, n°. 72, la plus petite valeur que t puisse prendre, lorsque 

 j^> 0, est égale à 2(1 -f a 2 + a 3 -f- .... -f- ^j), donc, en vertu de (154), plus 

 petite que m, sauf lorsque £ = 0, donc m — 2(1 + u 2 -f- a z + . . . . ' + «A A-t-on 

 j = 0, alors t=l et m = l, de sorte que l'ordre de f'(x) — f(x) n'est pas 

 inférieur à m. Comme il n'est pas satisfait, dans ces conditions, à l'équation 

 m = 2(1 + + + aj), on voit: 



On peut toujours changer la première fonction indicatrice remplaçable Qj ^ 

 de telle sorte, que l'ordre de Vexpr. appr. s'abaisse, sauf dans deux cas, 

 savoir: 1°. lorsque j^>0 et m = 2(1 -f- a 2 -f- x 3 + • • • • ~r* x j) ''t 2°. lorsque 

 j = 0, donc m = 1. 



