CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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tions qui suivent Qj + i (éventuellement (Tune introduction de telles 

 fonctions, lorsqu'elles ne figurent pas dans l'expr. appr. primitive, 

 donc lorsque i=j -j- 1). Considérons à cet effet l'expr. appr. 



qui se confond avec (151) dans les y -f- 1 premières fonctions indica- 

 trices, mais s'en écarte pour le reste d'une manière quelconque. D'après le 

 § 13, n°. 1%,f r {x)—f{x) est pour x — 1 au moins d'ordre 2(1 + a 2 + 

 # 3 + . . . clone, d'après (153), d'un ordre supérieur à m. Il résulte 



ensuite du § 12, n°. 67 , quej» 2n f'(—) estuneexpr. appr. àum me ordre 



\p2n/ 



et que la limite du rapport des erreurs des deux expr. appr. est égal 

 à 1. Donc: 



Lorsque ^^^2} • • • - , Qi\ est une expr. appr. d'ordre 2(1 + # 2 ~t~ 

 # 3 -\~ . . . . -f- &j) ~f" °ù 0 < à < + i et j <C.i, V ordre de 

 Vexpr. appr. ne change pas si Von remplace par d'autres les fonctions 

 indicatrices venant après la {j V) me , ou (pion les supprime, ou encore 

 qu'on en introduise dans le cas où il n'y en aurait pas-, en d' ] attires termes, 

 ces fonctions indicatrices sont sans influence sur V ordre. De plus, le rap- 

 port des erreurs de l'expr. appr. modifiée et de Vexpr. appr. primitive a 

 comme valeur limite 1. 



Nous dirons que les fonctions indicatrices qui suivent Qy + i sont 

 arbitrairement remplaçâmes. Une modification arbitraire, introduite dans 

 ces fonctions, fait non seulement que Y ordre de l'expr. appr. ne change 

 pas, mais encore que le rapport limite de l'erreur (c. à d. la limite du 

 rapport de l'erreur à celle d'une expr. appr. déterminée du même ordre) 

 reste invariable; les fonctions indicatrices arbitrairement remplaçâmes 

 ont donc très peu d'influence sur la précision de l'expr. appr. 



La première fonction indicatrice remplaçable, avec les fonctions 

 arbitrairement remplaçables, donc toutes les fonctions venant après Qj, 

 nous les appellerons ensemble des fonctions indicatrices remplaçables. 



77. Expressions approximatives osculantes. Les fonctions indica- 

 trices irremplaçables, au nombre de peuvent manquer totalement, 

 notamment lorsque j=0, clone m — 1. 



Un autre cas extrême est celui où il n'y a pas de fonctions indica- 

 trices remplaçables, ce qui se présente lorsque j = i, en quel cas 



