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F. SCHUH. 



m>2 (1 -\- oc 2 -\- ûù 2 . . . -\- aï), donc m ^> %g } g étant le degré de l'expr. 

 appr. Dans ce cas toutes les fonctions indicatrices Q lf Q 2) . . ., Q ; - sont 

 irremplaçables. Toute autre expr. appr. du même ordre ou d'ordre T)lus 

 élevé commencera donc par les fonctions indicatrices de [Q i} Q 2 , . . . ,Qj], 

 et sera par conséquent de la forme : 



(Q„ Q 2 ,....,Qi, Q' i+l) ....,Q'i.\. (158) 



Cette autre expr. appr. est donc de rang plus élevé (notamment de 

 rang i') et de degré plus élevé (notamment de degré g -f- + . . . . 

 -f- »%•) que l'expr. appr. primitive. Pour cette raison nous qualifierons 

 l'expr. appr. primitive à? oscillante. Nous avons donc : 



Une expr. appr. rationnelle \Q 1} Q 2} . . . . , Qj], dont V orcle m est au 

 moins le double du degré g *), est oscillante, c. ad. (pie toute autre expr. 

 appr. rationnelle du même ordre ou d'ordre plus élevé est de rang plus 

 élevé et de degré plus élevé , de sorte que la première expr. appr. est la 

 plus précise aussi bien par rapport au rang que par rapport au degré. 

 Les i premières fonctions indicatrices d'une telle autre expr. appr. sont 

 identiques aux fonctions correspondantes de V expr. appr. primitive, de 

 sorte que toute autre expr. appr. du même ordre ou d'ordre plus élevé est 

 de la forme (158), où i'^>i. 



Nous avons vu au n°. 75 que pour /<0' l'expr. appr. peut, par 

 changement de la (j -f- l) me fonction indicatrice, être remplacée par une 

 autre, savoir (157), qui est du même ordre ou d'ordre plus élevé. Cette 

 expr. appr. modifiée est de rang y-)- 1 et de degré 1 -f- &i + #3 ~h • • • 

 -f- + donc au plus de rang i et au plus de degré g. Lorsque 



; <^i, il est donc possible, sans élever ni le rang ni le degré, d'apporter 

 un changement par lequel Tordre n'est pas abaissé 2 ), de sorte qu'alors 

 l'expr. appr. n'est pas osculante. L'expr. appr. n'est donc osculante 

 que pour/ = 2' ou m^>Zg. Nous trouvons ainsi inversement: 



Pour une expr. appr. osculante V ordre est au moins le double du degré 1 ) 

 et toutes les fonctions indicatrices sont remplacables. 



78. Ordre d'une expression approximative pour laquelle j'<Cj- 



1 ) Je tiens pour probable que l'ordre ne peut pas être plus grand que le double 

 du degré, sans pouvoir le démontrer. Voir à ce sujet la note à la p. 117 et suiv. 

 et § 17, n°. 90. 



2 ) Au § 16 nous montrerons que, si j<C,i, on peut, sans élever le rang ni le 

 degré, apporter une modification telle que l'ordre s'élève. 



