CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 105 



Soit donnée Texpr. appr. (151) avec j fonctions indicatrices irrempla- 

 çables (j ^> 0). On peut en déduire aisément Tordre de toute autre expr. 

 appr., identique à (151) par les/ premières fonctions indicatrices, où 

 f <Cj) mais s'en écartant par la (f -j- l) me . Si cette autre expr. appr. est 



Pin f'(^) =\a\,Q\, .., ©'« \=\Q 1 ,Q 1 ,...,Q J ; Q'j'+i, QV | > 



où les degrés des fonctions indicatrices sont 1, ct 2 . . zr, on doit, 

 d'après § 13, n°. 71, distinguer trois cas au sujet de Tordre t de 

 f'(x)-f{x). 



Premier cas: od y + ± ^> xy + 1 (à ce cas appartient aussi celui où 

 Q'f + i manque, donc où y + i = -f- ce). Alors 



t = ï +4«, + 2*/ + «/ + !. 



Second cas: # 'j' + i <C ■+ 1. Alors 



< = 1 + 2« 2 + 2* 3 + • • ■ • + 2*/ + *V + 1- v 

 Troisième cas: # j- + 1 = #j + 1 ; Q. j- + i — Qy + 1 est divisible par 

 {p-in — Pn) 7 et pas par une puissance de pi n — p n plus élevée. Alors 

 t= 1 + 2x. 2 + 2*3 +. . ,+ U r + + i + 7 (0<y<;^ + 1 ). 

 Dans tous ces cas on a 



i< 2(1 '+ * 2 + * 3 + • . • + */ + l)i 



donc, puisque / <C/ •' 



*<2(l + * 2 + «s + •••+"./), 

 ou, en vertu de (153): 



^ <i m. 



Il résulte donc du § 12, n°. 67, que V ordre m depmf'C — — J <?<stf 



Or, dans les trois cas mentionnés: 

 2(1 + * 2 + * 3 + . . . + «/) < * < 2(1 + ^ + * 3 + . . . +*,-. + *> + 1), 

 donc, puisque m = /: 



2(1 + ^ + ^ + .. . + «/)<»'<< 2(1+^-1- « 3 +. .. + ^- + *V + 1 ). 



Par rapport à ^_>n /"(-—) ces inégalités sont de même forme que 



(153) par rapport à Texpr. appr. (151). Il s'ensuit que p-i n /''(—) 



\pin' 



