CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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indicatrices communes sont également irremplaçables dans la seconde expr. 

 appr.; mais ce ne sont pas nécessairement les seules qui soient irrempla- 

 çables dans la seconde expr. appr. 1 ). L'ordre m de la seconde expr. appr. 

 peut être inférieur [sauf l'exception citée à la page 10£, note 2), égal 2 ) 

 ou supérieur 2 ) à celui de la première expr. appr. 



Ici Tordre m ne peut pas toujours être déterminé directement par 

 comparaison avec la première expr. appr. Mais on peut bien déduire 

 directement du résultat du § 13, n°. 71, Tordre t de f\x) — f(x), et 

 pour cet ordre on trouve la même valeur qu'au n°. 78, si Ton y pose 

 / =j; c.àd. que Ton trouve respectivement dans les trois cas du n°. 78 3 ): 

 t—m — è- — -l-J-^+i, t—m — à — l+fl'j + i, t — m- — à — l-|-#j+i+7 

 (0<à<<2#j + i , 0 <7<^ J + i). Mais on ne peut déduire de là une con- 

 clusion au sujet de m que si t <^ m ou t ^> m. Dans le premier cas la con- 

 clusion est m — t, dans le second m'= m (avec un rapport limite des 

 erreurs égal à 1). Mais, si t — m, on peut simplement conclure in > m 

 (et que le rapport limite des erreurs est différent de 1). 



Dans les trois cas du n°. 78 on a: 



^>2(l + <x 2 +<x 3 + + ocj). 



Il s'ensuit, puisque m~>2> (1 + oc. 2 -\- a z -f- . . . . -\- »j) : 



m>2{l + * 2 +*3 + -- • • + *?)• 



Eu égard à (153), on conclut de là à l'exactitude de l'assertion ci- 

 dessus, que la deuxième expr. appr. a au moins / fonctions indicatrices 

 irremplaçables, de sorte que les fonctions indicatrices communes sont 

 également irremplaçables pour la deuxième expr. appr. Il est évident 

 que les données sont insuffisantes pour permettre de tirer d'autres con- 

 clusions au sujet du nombre des fonctions indicatrices irremplaçables de 

 la seconde expr. appr. 



(voir n°. 74), lorsque la seconde expr. appr. est du même ordre que la première 

 ou d'ordre plus élevé. Mais, si elle est d'ordre inférieur, cela exige une dé- 

 monstration spéciale, qui sera fournie dans la suite. On trouvera une autre 

 démonstration, plus générale, au n°. 80. 



x ) Si la seconde expr. appr. a plus de fonctions indicatrices irremplaçables 

 que la première, son ordre est plus élevé que celui de la première. Mais 

 l'inverse n'est pas nécessairement le cas. 



2 ) On verra au § 16 que Tordre de la seconde expr. appr. peut être égal 

 du supérieur à celui de la première. 



3 ) Dans le second de ces cas, on peut avoir a ^ i = -f- ce , notamment si j = i. 



