CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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nous sommes partis, savoir que Q l3 Q 2 , . . . ., Qj seraient irremplaçables 

 pour la première expr, appr., mais non pour la seconde, est absurde. 



81. RÉDUCTION D'UNE EXPRESSION APPROXIMATIVE À UNE EXPRESSION 



approximative osculante. Il résulte de ce qui précède, que d'une expr. 

 appr. à j fonctions indicatrices irremplaçables (j ^> 0) on peut déduire 

 immédiatement j expr. appr. osculantes. En effet, si l'on supprime les 

 fonctions indicatrices remplaçables, on obtient une expr. appr. duy me 

 rang, dont toutes les fonctions indicatrices sont irremplaçables, donc une 

 expr. appr. osculante. Cette dernière reste osculante lorsqu'on sup- 

 prime par derrière quelques fonctions indicatrices encore. Si le rang/ 

 de l'expr. appr. osculante ainsi formée est plus petit que j 3 son ordre 

 résulte immédiatement de ce qui a été trouvé au n°. 78. On obtient ainsi : 



Ayant une expr. appr. avec j fonctions indicatrices irremplaçables 

 (j^> 0), dont les degrés sont respectivement 1 , a 2) oc z ,. . ., <%j , on ob- 

 tient Vexpr. appr. osculante de rang j (f en considérant les f pre- 

 mières fonctions indicatrices comme les fonctions indicatrices d'une nou- 

 velle expr. appr. (en supprimant donc les fonctions suivantes). Le degré 

 de cette expr. appr. osculante est 1 + x 1 -f- # 3 + • • . ~\~ & j 1 ; pour j' <Cj 

 son ordre est 1 -f- 2# 2 -f- 2<% 3 -f- • » • + ~T~ + 1- 



Dans le cas où / = j tout ce qu'on peut dire, c'est que Fexpr. appr. 

 osculante est au moins d'ordre 2 (1 -f- <z 2 -f- # 3 -}"...+ ccj). 



§ 15. Théorème relatif au relèvement de l'ordre 

 d'une expression approximative. 



82. Première manière de formuler le théorème. Dans ce para- 

 graphe , nous ne ferons plus la supposition que l'expr. appr. est ration- 

 nelle, et nous allons démontrer le théorème suivant, plus général: 



Si p-znfC^-) est une expr. appr. du m me ordre et w (x, C) une fonc- 

 \p-i n s 



tion de x et C pour des valeurs de x comprises entre 0^1 qui con- 

 sidérée comme fonction de x soit continue pour x = 1 et devienne pour 

 x — 1 une fonction de C entière , linéaire, non constante , on peut tou- 

 jours déterminer C, et d'une seule manière , de telle façon que Vexpr. appr. 



l ) Comme nous n'avons affaire à la fonction iu (œ, C) que pour des valeurs 

 de x comprises entre 0 et 1, la continuité pour x = 1 ne doit exister qu'à 

 gauche. 



