CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. ,113 



à cet effet dans l'expr. appr. primitive devra consister en un changement 

 de la première fonction indicatrice remplaçaùle (éventuellement l'intro- 

 duction d'une telle fonction , dans le cas où elle ferait défaut dans 

 l'expression primitive, donc où l'expr. appr. primitive serait osculante). 

 Ensuite, les fondions indicatrices arbitrairement remplaçantes, s il y en a, 

 peuvent être laissées de coté, puisqu'elles n'ont pas d'influence sur l'ordre 

 de l'expr. appr. 



Supposons que l'expr. appr. primitive p<i n f (-—) contienne / fonc- 



\p2nS 



tions indicatrices irremplaçables, j pouvant être nul. Si elle n'est pas 

 osculante, son développement en fraction continue (abstraction faite de 

 quelques fonctions indicatrices arbitrairement remplaçables, si elles 

 existent) peut s'écrire : 



|Q„ Q 2 , , Q j} Qj + \\, 



où Qj, Q 2 ,. . ., Qj sont irremplaçables. Si elle est osculante (en quel 

 cas 7 > 0), Qj + 1 n'existe pas et l'expr. appr. est de la forme: 



|Q, , Q 2 , , Qj\. 



L'ordre m de l'expr. appr. satisfait dans les deux cas à (153) (§ 14, 

 n°. 73), où #j + i = + oo lorsque l'expr. appr. est osculante. On a 

 donc : 



m = 2 (1 + # 2 + * 3 + +ctj) + î (154) 



avec 



0<è<£* /+ i. (155) 

 Le développement en fraction continue de la nouvelle expr. appr. 

 pinf ( ) P eu t aans les deux cas être supposée de la forme 

 \Q l} Q 2 Qj, 



Pour pouvoir appliquer le théorème du § 15 on doit laisser entrer 

 dans Q'j+i une constante, encore à déterminer, de telle façon, que 

 f'(x) — f(x) soit d'ordre m pour chaque valeur de C. Or, ceci peut 

 s'obtenir aisément à l'aide des résultats du § 13, n°. 71. A ce sujet nous 

 avons à distinguer trois cas. 



Premier cas: S -f- 1 <C#H-ij ceci implique également le cas, où 



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