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P. SCHUH. 



l'expr. appr. primitive est osculante, donc où Qj+± manque, puisqu'alors 

 x +1 = + oo. Mais le cas j = 0 est exclus; en effet, pour y = 0 on a, 

 en vertu de (153), m<2, donc m = I, c. à d. que, d'après (154), 

 à = 1 , donc à = ctj+i et S + 1 >> 

 Formons l'expression 



i i 5+1 î 



(Q, ^ P2 „ S 1 ) (166) 



ou p2n $ \—, C). En vertu du théorème du § 13, n°. 71 (où 



\p-2n y 



l *+l 



Q' y -+i = —p-in et a'j+i = à -f- 1, de sorte que Ton se trouve dans 

 le cas #'j+4 <C on a que (?) (a?, C) — /(^) est de l'ordre 



1 + 2 * 2 + 2 * 3 -f + + * + 1, 



pour a? == 1 , donc, d'après (154), d'ordre m. D'après le même théorème 

 le quotient w[x 3 C) de la division de (p (x, C) — f(x) par (1 — x) n \ 

 devient, pour x — 1 : 



«(i,cj = (-i) ^ /|( , 



donc une fonction de C linéaire et entière, sans terme connu. D'après le 

 théorème du § 1 5, n°. 82, on peut donc toujours déterminer une valeur de C, 

 différente de zéro, de telle façon que (166) devienne une expr. appr. d'ordre 

 plus élevé que le m me . Il faut pour cela que C satisfasse à (162), donc à: 



de sorte que Von trouve pour C : 



*) Dans cette expression on peut remplacer p 2n ^^ par % (p 2n , p n ), où 

 X {P2m Pn) es t une fonction homogène, entière et rationnelle de degré J-f-1, 

 non divisible par p 2n — p n , du reste arbitrairement choisie. Dans le texte nous 

 vons donné à cette fonction la forme la plus simple P^n'^'^'i sans inconvénient 

 pour la généralité du raisonnement. Il est, en effet, aisé de déduire a posteriori 

 de l'expr. appr. d'ordre supérieur au m me , que nous venons de trouver, toute 

 autre expr. appr. d'ordre supérieur au m™e> (voir les notes au n°. 85). 



