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Y. SCHUH. 



On trouve donc dans tous les cas une expr. appr. d^ ordre plus élevé que 

 le m me , notamment en modifiant dans F expr. appr. primitive la première 

 fonction indicatrice rem,plaqable et en laissant de coté les fonctions indi- 

 catrices arbitrairement remplaçâmes [s il y en a). 



Dans le premier des trois cas que nous avons distingués, la modifi- 

 cation peut revenir à ceci, que la première fonction indicatrice rempla- 

 çable n'existait pas primitivement (c. à d. que Pexpr. appr. primitive 

 est osculante), mais qu'on l'introduit dans la nouvelle expr. appr. Dans 

 ce cas le rang et le degré de la nouvelle expr. appr. deviennent plus 

 grands que ceux de l'expression primitive. Si (toujours dans le premier 

 cas) F expr. appr. primitive n'est pas osculante, la première fonction 

 indicatrice remplaçable est remplacée par une autre de degré inférieur, 

 ce qui fait que le degré de F expr. appr. s'abaisse; le rang reste le même 

 ou devient plus petit suivant que F expr. appr. primitive ne possède 

 pas, ou possède des fonctions indicatrices arbitrairement remplaçables. 



Dans le second cas et dans le troisième cas A la première fonction indi- 



II n'est pas improbable que ceci est une impossibilité, et alors le sous-cas B 

 du troisième cas ne pourrait pas se présenter. Mais c'est là un point que je 

 n'ai pas pu trancher. 



Il est toutefois aisé de se convaincre que les autres cas peuvent réellement 

 se présenter. On verra notamment (voir §17, n°. 86), que pour chaque rang 

 il existe une expr. appr. osculante. Supposons que pour le ( j -f- l) me rang elle 



soit p 2n f" (j^) = 1 Qji • • • - , Qj, Q" j+ ± ! , où Q"j + i est de degré 



Si m" est l'ordre de cette expr. appr., m" ^> 2 (1 -f- ct % + a 3 + .....+ &j + 



Or, on déduit des résultats du § 14, n°. 78, que l'ordre m 1 de j Q x , Q 2 , . . . . ! 



est égal à 1 -f 2x t + 2# 3 -f . . . . -j- 2x- + 0l "jJ r \ e t que l'ordre m de l'expr. 



appr. primitive p 2n fÇ^^\ = j Q 13 Q 2 , Q ? - +1 j est égal au plus petit 



des nombres 1 -f 2* 2 + 2a 3 -f- -f 2«- -f *- + 4 et 1 + 2* 2 + 2* 3 + -f 



-f- 2« p}- et 4 , si ces nombres sont inégaux, et dans le cas contraire égal à 

 1 + 2« 2 -f- 2c& 3 -f- .... -f- 2« - + + i ~l~ y i où y est l'exposant de la plus haute puis- 

 sance de p. 2n — p n qui divise + i — Q"j + 1 



Si (ce (]ui est toujours possible, puisque l'on peut donner à 



x j + i toute valeur positive et entière), on a donc m == 1 + 2<z a -f- 2a^ -f- . . . . -J- 

 + 2a- + «"y + .<, d'où résulte, eu égard à (154), £ -f- 1 = Vu que 



oij + 1 ~> *"j _|_ ! il s'ensuit que ^ + l<^y + - 1 , de sorte que l'on se trouve dans 

 le premier cas. 



Si = a "î+4 ( ce H u i est également toujours possible), on a m = 1 + 2ûf 2 -f- 

 + 2^ + -f- 2« + + 1 + r , donc J -f 1 = *" +1 + 7 = + y. Dans 



