CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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catrice remplaçable est remplacée par une autre de même degré, le degré et 

 le rang restant le même ou diminuant suivant que etc. (voir ci-dessus). 



Dans le troisième cas B la modification dans la première fonction 

 indicatrice remplaçable consiste dans son omission, ce qui fait baisser 

 le degré et le rang. 



Nous arrivons donc à cette conclusion, que le degré et Je rang de la 

 nouvelle expr. appr. ne sont plus grands que dans V expr. appr. primitive 

 que si Vexpr. appr. primitive est osculante. 



85. Préceptes pour la formation d'expressions approximatives 

 d'ordres plus élevés. Dans la démonstration du théorème du n° 84 

 nous avons donné en même temps la description du processus de for- 

 mation d'expressions approximatives d'ordres plus élevés en partant 

 d'expr. d'ordres plus bas. Eésumons encore une fois les résultats obtenus. 



cette expression y peut prendre toutes les valeurs entières depuis 0 jusqu'à 

 <z"j + l- Si y>0, on a donc £ + 1>#j_|_i, c'est à dire qu'on se trouve dans 

 le second cas. Si y = 0, on a ^ + 1=^-^_| et l'on a affaire au troisième 

 cas; l'expr. appr. j Q 1? Q 2 , . . . ., Qj j n'est pas alors de degré plus élevé que 



i Q 15 Q a , . . . ., Q-, Qj_j_i I (puisque toutes deux sont d'ordre 1 + 2# 2 + 2oc t 

 +.....+ ; -f-#"j_|_i), de sorte qu'on se trouve non pas dans le sous-cas B et par 

 conséquent dans le sous-cas A. 



Enfin, si + i < «. on a m =1+ 2# 2 + 2# 3 + . . . . + 2x- + + 1 , donc 

 $ + 1 = + Comme en outre l'ordre m 1 — 1 -f- 2# 2 + .... + 2^- + + i de 



i Qn 0 2 i • • • • , Qj i est plus grand que l'ordre m = 1 + 2« a + + <x j + i 



de | Q lt Q a , . . . . QjiQj+i I , on se trouve dans le troisième cas 5. Mais«- + 1 <C«j +1 

 n'est possible que si a'^- _j_ 1 >> 1 , de sorte que ce cas ne peut pas se présenter 

 lorsque a" J -_j_ 1 = l. Le troisième cas B ne pourrait donc jamais se présenter 

 si dans une expr. appr. osculante toutes les fonctions indicatrices étaient tou- 

 jours du premier degré, donc si toute expr. appr. osculante était normale (voir 

 §10, n°. 55). 



Mais si une des fonctions indicatrices d'une expr. appr. osculante n'était 

 pas du premier degré, on n'aurait qu'à supprimer les fonctions indicatrices 

 suivantes pour obtenir une expr. appr. osculante | Q n Q 2 , • • • • Qj, i i d°ut 



la dernière fonction indicatrice serait de degré plus élevé que le premier (comme 

 Q l est toujours du premier degré, il faudrait pour cela j>0). On aurait alors 



&"j + i > 1 et on pourrait choisir | Q x , Q 2 , , Q., Qj + i I de telle façon, que 



Xj _|_ | <C sî' j _|_ t , et on serait ainsi dans le sous-cas J5 du troisième cas (en effet, 

 si _j_ | > 1 on a m L ^>2g 1 et inversement). On voit donc que le troisième 

 cas B se présente, et se présente uniquement, lorsqu'il est possible de trouver 

 des expr. appr. dont V ordre est plus grand que le double du degré, ou bien 

 (ce qui revient au même), lorsqu'il peut y avoir des expr. appr. osculantes 

 anomales, c. à d. des expr. appr. osculantes dont les fonctions indicatrices 

 ne sont pas toutes du premier degré. 



