CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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reste toujours à, + 1, tandis que Tordre de l'expr. appr. devient de plus 

 en plus grand et finit par atteindre ou dépasser la valeur 



2(i+* 2 +.« 3 +.../+«a+2ft+i)= 



= 8(l+« i + * J + .... + '). 



I/expr. appr. est alors devenue osculante, mais de rang j -j- 1. 



On peut de cette façon déduire d'une expr. appr. osculante de rang 

 1 une autre de rang 2, de là une autre encore de rang 3, etc. Par 

 induction complète nous arrivons ainsi à la conclusion suivante: 



Pour chaque rang il y a une expr. appr. oscillante. 



87. Préceptes pour former des expressions approximatives os- 

 culantes. En donnant la démonstration du théorème du n°. 86, nous 

 avons en même temps décrit la façon de procéder pour former des expres- 

 sions osculantes en partant de p-zn- Ea méthode suivie dans ce procédé 

 repose sur les résultats résumés au n°. 85. Mais dans le procédé du n° . 86 

 le cas à -f - 1 = <Zj+± ne se présente jamais , comme nous l'avons vu, et le 

 cas t-\- 1 <^#j+i ne se présente que lorsque + i = + Q° , donc lorsque 

 Vexpr. appr., d'où se déduit Vautre de degré supérieur, est osculante. 



Par une petite modification nous pouvons maintenant simplifier un 

 peu les préceptes pour la formation d'expr. appr. osculantes de tout rang. 

 Alors que nous avions représenté, dans le n°. 85, par / le nombre des 

 fonctions indicatrices irremplaçables de l'expr. appr. à transformer (sans 

 nous préoccuper de savoir si elle était osculante ou non), de sorte que 



x ) Dans la dernière transformation l'ordre de l'expr. appr. monte d'une quantité 

 plus petite que 2 (1 -f- ct 2 -j- « 3 -f- • • • • + &j) + 2 ($ 1 + 1) à une quantité égale à 

 ou plus grande que 2 (1 -f ■ ct 3 + .. . . . + xj) + 2(£ x -f- 1), donc à 2(1 -}- # 2 + 

 -f- <sf 3 -f"- . . + a j) + (2 £j + 2 + £'), où $' ^0. Comme Tordre commence par 

 2 (1 + x z H" • • • ~h x j) + il augmente de è 1 + à' ~h 2 (pour arriver d'une 

 expr. appr. osculante de j me rang à une autre de (7 + l) me rang). Admettant 

 que chaque transformation, sauf la dernière, ne fait augmenter l'ordre que 

 d'une unité et que la dernière transformation, qui fait augmenter l'ordre au moins 

 de +1, ne donne aussi que cette augmentation, en devra donc faire ^ + 2 

 transformations. Le nombre de transformations deviendrait toutefois plus petit, 

 si dans certaines d'entr'elles l'ordre croissait d'une quantité plus grande que 

 nous n'admettons ici. Mais je n'ai pas pu établir si cela était possible (voir n°. 90). 



Si toute expr. appr. osculante était normale (voir n°. 90), on aurait Xj + { = 1, 

 donc $ 1 = 0 (et de môme è' =0\ Alors il faudrait donc au plus deux transfor- 

 mations pour passer d'une expr. appr. osculante à l'expr. appr. osculante suivante. 



