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son rang était y ou/-f- 1, nous allons maintenant appeler toujours j le 

 rang de l'expr. appr. à transformer (ce qui fait que le nombre de ses 

 fonctions indicatrices irremplaçables devient^' ou y — 1). Dans l'équa- 

 tion (169) on doit donc remplacer j par y — 1, ce qui donne une con- 

 cordance complète avec (167). Si dans (166) on pose encore à -\- 1 = s 

 et dans (168) à -f- 1 — = £ } on trouve la règle suivante pour la for- 

 mation $ expressions approximatives osculantes. 



Pour former des expr. appr. osculantes de tout rang on part de Vexpr. 

 appr.p2n et au moyen d'une expr. appr. déjà trouvée 



on en forme une autre de degré plus élevé de l'une des deux façons suivantes, 

 selon les circonstances : 



1. Si l'ordre m de )Q l} Q 2 , .... Qj[ est égala 1 -j- 2# 2 ~\- 2# 3 -)-....+ 

 -f- 2#j_i -\- #j -|- s , où 0 <Cs^oij {de sorte que cette expr. appr. n est pas 

 osculanté), on forme V expr. appr. de même rang 



|Q„Q 2 , . . . .,^_i,Q, + (7fe K — pnYmn"i-% (175) 



2. Si V ordre m de [Q l M 1 , . . • . , Qj[ est égal àl-\- %œ 2 4- 2# 3 



-j- -f- 2#j -f- s , où £^>0 [de sorte que cette expr. appr. est oscu- 



lanté),, on forme Vexpr. appr. suivante, d'un rang plus élevé d 'une unité: 



jâ 1) Q 2) .... ) Q J _ 1 ,Q j ,^|. (176) 



Dans les deux cas 



q _ ( Y)i - 1 ^(^C^ 2 Qs 2 • • • • [111) 



Remarquons encore que de toutes les expr. appr., que Von obtient de 

 cette manière, V ordre est au moins égal au double du degré, diminué du 

 degré de la dernière fonction indicatrice. Cela résulte du fait, qu'il en 

 est ainsi pour Texpr. appr. p% n , dont on part, et que cela reste ainsi dans 

 toutes les transformations. 



Il résulte en outre du procédé que nous venons de décrire, que les 

 fonctions indicatrices d'expr. appr. osculantes, donc les fonctions indica- 

 trices irremplaçables , ont pour coefficients des nombres rationnels. 



88. Problème de la détermination de l'expression générale de 

 la ponction indicatrice irremplaçable Q t -. Nous avons exposé aux 



