CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



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Si cette question doit effectivement être tranchée négativement, c. à d. 

 si toute expr. appr. osculante est normale (voir § 10, n°. 55), les degrés 

 des expr. appr. osculantes successives deviennent 1, 2, .3, 4, etc., de 

 sorte qnil n'y aurait pas seulement une expr. appr. osculante pour chaque 

 rang, mais aussi pour chaque degré; V ordre d'une expr. appr. osculante 

 serait alors toujours le double du degré*). Mais si pour une expr. appr. 

 osculante on avait p. ex. <Zj +i >> 1, il n'y aurait pas d'expr. appr. 

 osculante de degré 1 + # 2 + <z 3 -f- .... -f- ^+1 ; chaque expr. appr. de 

 ce degré serait alors d'ordre plus bas que F expr. appr. osculante de j me 

 rang, qui est de degré plus bas, savoir de degré l + ds 2 ~H a 3+ .... + <*/. 



Remarquons encore que, ainsi que nous le verrons aux paragraphes 

 suivants, les nombres # 2 , # 3 et # 4 sont égaux à 1. 



Une autre question encore, que je dois également laisser indécise, 

 est celle-ci: 



Se peut-il que dans l' algorithme pour la formation d'' expressions appro- 

 ximatives osculantes de degrés de plus en plus élevés, décrit an n°. 87, 

 l'ordre augmente dans une transformation aVune quantité plus grande 

 quel? 2 ) 



Par cet algorithme il est fait en sorte que l'ordre croît chaque fois au 

 moins d'une unité, de sorte qu'il n'est pas improbable que cet accroisse- 

 ment est toujours de 1. Dans tous les cas on verra aux paragraphes sui- 

 vants qu'il en est ainsi dans la formation d'expr. appr. osculantes jusqu'à 



') liuns tous les cas V ordre ne saurait dépasser le triple du degré. En 

 effet, Tordre est l'exposant de la plus haute puissance de 1 — y qui divise 



f(y) — yf@y* — l)- Si donc f^^Yj^y où r ° et Tl sont des fonctions 



entières et rationnelles, T 0 est au plus de degré g (si g est le degré de l'expr 

 appr.) et 7\ au plus de degré g — 1; or, on a : 



Hy) yf{2j ~~ 7\ (y) T x (2y*-1):^ 



= T 0 (y) T t (2,/ - 1) - y T 0 (2y> - 1) 7\ (y ) 

 T l {y)T l {2y î -l) 



Le numérateur de la dernière fraction est au plus de degré 3 g et n'est donc 

 certainement pas divisible par une puissance de 1 — y, dont l'exposant est supé- 

 rieur à 3 g. 



Mais si toute expr. appr. est normale, l'ordre ne peut pas dépasser 2g, ce 

 qui implique donc une limitation de l'ordre beaucoup plus avancée. 

 *) Cette question a déjà été touchée dan.s la note 1 à la p. 123. 



