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F. SCHUH. 



celles du 3 me rang inclus. Mais si la réponse générale était négative, de 

 sorte que même dans la transformation qui rend osculante une expr. 

 appr. l'augmentation de l'ordre ne serait que d'une unité, Tordre de toute 

 expr. appr. osculante serait égal au double de son degré ^ et tous les 

 nombres x^a^x^, .... seraient égaux à 1. Il s'ensuit: 



Si la réponse à la seconde question était négative, il en serait de même 

 pour la réponse a la première question. 



Remarquons encore que dans ce cas l'algorithme du n°. 87 fournirait 

 à tour de rôle une expr. appr. osculante et une expr. appr. non-oscu- 

 lante, à commencer par une expr. appr. non-osculante (savoir p^). 



91. Quelles expressions approximatives osculantes fournissent 

 une limite inférieure? Yoici une autre question encore: 



Pour quels rangs Vexpr. appr. osculante est-elle une limite inférieure 

 et pour quels rangs est-elle une limite supérieure; en d'autres termes , pour 

 quels rangs F expr. appr. osculante est-elle plus petite que la circonférence 

 du cercle } pour des valeurs de n suffisamment grandes, et pour quels rangs 

 est-elle plus grande? 2 ) 



Cette question est directe?nent liée à celle de savoir quels sont les signes 

 de [Q 2 ]i, [$3]^ [^li j etc. pour les expr. appr. osculantes. En effet, si 



P2n f(—) — $2> • • • •> fyl es t une expr. appr. osculante et qu'on 



en déduise, de la façon indiquée au n° 87, l'expr. appr. osculante 



^Q 1 ,Q 2 > • Qj+ij, on a [Q/ + i], = ~, où (7 a la valeur indiquée par 



(177); il en est ainsi notamment après la première application de la 

 transformation à ^Q l , Q 2 , . . . . , Qjj et cela reste ainsi dans les transfor- 

 mations suivantes, puisqu'on ne fait qu'ajouter à la (J -\- l) me fonc- 

 tion indicatrice des termes qui contiennent le facteur p<i n — p n et qui 

 disparaissent donc lorsqu'on remplace p^n et^» n par 1. On trouve ainsi : 



d'où 



\q 1 =c IV'- 1 - - 



Am 1 



e(i) = (-iy-« 



[Q 2 2 Q 3 2 Qj 2 Qj+i]i' 



') Voir note 1, p. 123. La grandeur y qui figure à cet endroit serait alors nulle. 

 *) Pour les trois rangs les plus bas on a affaire à une limite inférieure (voir 

 \§ 18, 19 et 20). 



