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degré ou linéaires-, inversement une expr. appr. linéaire est de premier 

 rang. Une pareille expr. appr. est de la forme 



P2n + A ( P2n—Pn) = P2n [1 + A(\—x)~\ 3 (178) 



où x — — . On a donc : 



pin 



*)> (1^9) 



d'où il suit: 



f\y) -y m 2 - 1) = (i -y) D + a — 2 a y (1 +,)j = 



= (l_ y )[l_3^ + 2^(X-y)(2+y)]. (180) 



En général f(y) — yf{%y 2 — 1) n'est donc divisible que par 1 — y, 

 d'où résulte: 



En général {pour A 7^ 3) une expr. appr. linéaire est du premier ordre. 



93. Expression approximative osculante de premier rang. L'expr. 

 appr. (178) devient d'ordre supérieur au premier lorsque f (y) - — ■ 

 y f{%y 2 — - 1) devient divisible par (1 — y) 2 , ce qui est le cas pour A = \. 

 Alors T équation (180) se transforme en: 



/W-y/(V-i)=l(i-y) 2 (3+y)- (181) 



Il suit de là que maintenant f(y) — yf{^y 2 — 1) n'est divisible que 

 par (1 — y) 2 . L'expr. appr. est donc du second ordre et par conséquent 

 osculante. On a ainsi : 



L'expr. appr. osculante du premier rang est: 



P2n + |(P2n — Pn)? (182) 



elle est du second ordre. 



L'ordre de cette expr. appr. est le double de son degré. Il en résulte, 

 d'après les résultats du § 17, n°. 89 , que Vexpr. appr. osculante de 

 second rang est normale. 



Pour l'expr. appr. (182) il résulte de (181) : 



w (1— y) 2 8 l + «' 



<?(1) = 2. 



G [y), donc aussi f(y) — yf(%y 2 — 1), est par conséquent positif 



