CIRCONFERENCE DU CERCLE. 



133 



Vexpr. appr. linéaire p-m -\- A {p-m — Pn) fournit une limite inférieure 

 pour la circonférence du cercle si À Vexpr. appr. est alors monotone 



permanente. Vexpr. appr. fournit une limite supérieure si A ^>^; dans 



ce cas elle n est monotone permanente que si A^>~ 1^2- 



95. Limite supérieure monotone permanente la plus précise. 

 Comme l'expr. appr. (178) est d'autant plus petite que A est plus petit, 

 on trouve, en vertu de ce qui a été dit au n°. 94 : 



La limite supérieure monotone permanente la plus précise est: 



P2n+|v / 2 (P2n — Pn)5 (186) 



elle est du premier ordre. 



Dans cette expr. appr. G (y) = 0 pour y = ^ ce qui signifie que 



pour n = 2 Vexpr. appr. (186) fournit le même résultat que pour n = 1; 

 elle donne d'ailleurs toujours un résultat plus faible lorsqu'on attribue 

 à n une valeur deux fois plus grande. Pour n = 2 l'expr. appr. est donc 

 tout aussi précise que pour n — 1 ; on peut ainsi prévoir un minimum 

 de précision pour une valeur de n comprise entre 1 et 2 , et ce minimum 

 existe réellement Nous avons donc ici un cas, où la monotonie per- 



*) L'existence d'une erreur maximum, pour une valeur de n différente de 1 

 se reconnaît immédiatement pour A = V2 et pour des valeurs de A com- 

 prises entremet ^1^2; en effet, l'expr. appr. est alors une limite supérieure , 



de sorte que pour des grandes valeurs de n l'expr. appr. diminue lorsque n 

 augmente, tandis que pour n = 2 le résultat est égal ou supérieur à celui 

 pour n = 1. D'après cela on peut prévoir aussi l'existenee d'un tel maximum 



pour des valeurs de .4 qui sont plus grandes que -^-1/2, mais ne dépassent 



2 



pas une certaine limite. 



Voici comment on peut trouver pour quelles valeurs de .4 ce maximum existe 

 encore et où ce maximum est situé. L'expr. appr. peut s'écrire: 



P2n + A (#2n — Pn) = C 1 + A )Ptoi ~ A Pn = M 1 + A) sin ~-2nA sin ^. 



