CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. 



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et 1. Or, pour B <^ — le dénominateur de la fraction dans le second 



membre de (219) est toujours positif , de sorte qu'il faut encore démon- 

 trer la positivité du numérateur, donc de l'expression (224). Pour y = 0 



23 



cette expression est égale à a , donc positive pour B <C yy en vertu 



de la première des équations (225), tandis que pour y = 1 cette expres- 



23 



sion est égale à a -f- b + c -f- d + e, donc positive aussi pour B — 



d'après (226). Mais l'expression (224) ne peut pas changer de signe 

 entre y = 0 et y — 1, parce qu'elle devrait être alors nulle pour deux 

 valeurs positives de y } ce qui est impossible en vertu de la règle de 

 Descartes. 



En effet, d'après les équations (225) a et h sont tous deux positifs 

 23 



pour B <C yy, et Ton a en outre à distinguer les cas suivants : 

 5 23 



— < B < — . Alors d et e sont tous deux négatifs ou tous deux 

 nuls; il y a donc au plus une variation de signe. 



— tïï^^^kt- Alors c est positif, d positif ou nul; donc au 

 28 = 21 



plus une variation de signe. 



/?<C — — . Alors d et e sont tous deux négatifs; donc au 



2o 



plus une variation de signe. 



Dans aucun de ces cas on n'a deux ou plusieurs variations de signe, de 

 sorte qu'il ne saurait y avoir deux racines positives. L'expression (224) 



est donc toujours positive entre y = 0 et y = 1, donc aussi entre y = — V 2 



2 



et y = 1. Il est prouvé par là : 



tiexpr. appr. (218) est une limite inférieure monotone permanente pour 



= 77 



ARCHIVES NÉERLANDAISES, SERIE III A, TOME III. 



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