les droites B M & B I aux foyers , leur fomme fera j 

 ^gale au grand axe ; &: fi l'on divife par la ligne B a 

 4'angle IB H que font ces deux lignes , en deux . par- t 

 «ïies égales , cette ligne Ba fera perpendiculaire à ; 

 i'ellipl'e dans le point R. 



9°, Un corps décrivant l'ellipfe DFK autour du ! 

 -foyer 77, eft dans fa plus grande diftance à ce foyer 

 <H, lorfqu'il eft en K ; dans fa plus petite-, lorfqu'il . 

 sit enZ);& dans fes moyennes diftanees , lorfqu'il S 

 ..eft en F & en K. 



io°. De plus , cette moyenne diilance FH & FM 

 -.eft égale à la moitié du grand axe. 



1 1°. L'aire d'une ellipfe eft à celle du cercle cir- 

 confcrit DmK, comme le petit axe eû au grand 

 axe. Il en eft de même de toutes les parties corref- 

 pondantes M/X, miK.de ces mêmes aires. Cette 

 propriété fuit de celle-ci , que chaque demi-ordon- 

 née M /de l'ellipfe , eft à la demi - ordonnée m I du 

 cercle dans la raifon du petit axe au grand. Ce fe- 

 xoit le contraire , fi on comparoit un cercle à une el- 

 lipfe circonfcrite , c'eft-à-dire qui auroit pour petit 

 .axe le diamètre de ce cercle. 



12°. Tous les parallélogrammes décrits autour 

 des diamètres conjugués des ellipfes , font égaux en- 

 îr'eux.Le parallélogramme a.^y^ (fig. / 4») P ar exem_ 

 pie, eft égal au parallélogramme e £ » ô. M. Euler a 

 étendu cette propriété à d'autres courbes. V yye{ le 

 premier volume de ïhijloire Françoife de l'académie de 

 Berlin , / 74^. 



13 0 . Si la ligne droite BI paffant par l'un des 

 foyers , fe meut en telle forte que l'aire qu'elle dé- 

 crit foit proportionnelle au tems , le mouvement an- 

 gulaire de B # autour de l'autre foyer , lorfque l'el- 

 lipfe ne diffère pas beaucoup du cercle , eft tort ap- 

 prochant d'être uniforme ou égal. Car dans une el- 

 lipfe qui diffère peu d'un cercle , les fefteurs quel- 

 conques B1D , FID y &c. font entr'eux à très-peu 

 près comme les angles correfpondans B HD. V oye^ 

 Infi. afiron. de M. le Monnier,/^g. 5o6. & fuiv. 



Defcription de la parabole. YLK {figure i5.feci. 

 coniq.) eft une équerre dont on fait mouvoir la bran- 

 che YL le long d'une règle fixe YI;PF eft unfîl 

 dont une extrémité eft attachée en X à cette équer- 

 ie , & l'autre en F à un point fixe F. Si pendant le 

 mouvement de cette équerre on tend continuelle- 

 ment le fil par le moyen d'un ftylet P , qui fui ve tou- 

 jours l'équerre , le ftylet décrira la courbe appellée 

 g ar aboie. 



La ligne L I eft nommée la directrice ; Fie foyer ; 

 •le point T qui divife en deux parties égales la per- 

 pendiculaire FI à la directrice , eft le fommet de la 

 parabole. La droite TF, prolongée indéfiniment , 

 l'axe. 



Toute ligne comme ni parallèle à l'axe, eft ap- 

 pellée un diamètre. Les lignes comme Hl terminées 

 à deux points H, l de l'ellipfe , & menées parallèle- 

 ment à la tangente au fommet d'un diamètre , font 

 les ordonnées à ce diamètre. Les parties iq font les 

 abfciffes. Le quadruple de la diftance du point i au 

 point F, eft le paramètre du diamètre tw; d'où il 

 fuit que le quadruple de F T eft le paramètre de l'a- 

 xe, qu'on appelle auiïi le paramètre de la parabole. 



Propriétés de la parabole. i°. Les ordonnées à un 

 diamètre quelconque , font toujours coupées en deux 

 parties égales par ce diamètre. 



2,°. Les ordonnées à l'axe lui font perpendiculai- 

 res, & font les feules qui foient perpendiculaires à 

 leur diamètre ; les autres font d'autant plus obliques , 

 que le diamètre dont elles font les ordonnées, eft 

 plus éloigné de l'axe. 



3°. Le quarré d'une demi -ordonnée quelconque 

 q l, eft égal au reclangle de l'abfciffe correfpondan- 

 teiq, par le paramètre du diamètre i n de ces ordon- 

 nées : c'eft de cette égalité qu'eft tiré le nom de la 



parabole, «vtQ&l&otà , fignifiant égalité ou comparàxfon,, 



4 9 . Le paramètre de la parabole, c'eft-à-dire le 

 paramètre de l'axe , eft égal à l'ordonnée à l'axe , 

 laquelle pafTe par le foyer F, & fe termine de part 

 & d'autre à la parabole. 



5°. La diftance PF d'un point quelconque P de la 

 parabole au foyer F, eft égale à la diftance P L du 

 même point à la directrice Ll: cette propriété fuit 

 évidemment de la defcription de la courbe. 



6°. Lorfque l'abfcifTe eft égale au paramètre , la 

 demi-ordonnée eft auffi de la même longueur. 



7°. Les quarrés de deux ordonnées au même dia«- 

 mètre , qui répondent à deux différens points de la 

 parabole , font entre eux dans la même proportion 

 que les deux abfciffes de ces ordonnées. 



8°. L'angle hin entre la tangente ht au point 

 quelconque i , & le diamètre i n au même point , eft 

 toujours égal à l'angle tiF, que cette tangente fait 

 avec la ligne i étirée au foyer. Ainfi ,ûHi l repré- 

 fente la furface d'un miroir, expofée aux rayons de 

 lumière de manière qu'ils viennent parallèlement à 

 l'axe , ils feront tous refléchis au point F, où ils brû- 

 leront par leur réunion : c'eft ce qui fait qu'on a 

 nommé ce point le foyer, foye^ Miroir ARDENT. 



9°. La parabole eft une courbe qui s'étend à l'in- 

 fini à droite & à gauche de fon axe. 



io°. La parabole à mefure qu'elle s'éloigne du 

 fommet , a une direction plus approchante du paral- 

 lelifme à l'axe, & n'y arrive jamais qu'après un 

 cours infini. 



1 1 °. Si deux paraboles ont le même axe & le mê- 

 me fommet , leurs ordonnées à l'axe répondant aux 

 mêmes abfciffes , feront toujours entr'elles en raifon 

 fous-doubléede leurs paramètres, ainfi que les aires 

 terminées par ces ordonnées. 



1 2°. La valeur d'un efpace quelconque i q H, ren- 

 fermé entre un arc de parabole , le diamètre i q au 

 point i , & l'ordonnée H-q au point H, eft toujours le 

 double de l'efpace i h renfermé entre le même arc 

 i H, la tangente i-h,èç le parallèle h B à i q ; ou ce 

 qui revient au même , Tefpace iHq eft toujours les 

 deux tiers du parallélogramme circonferit. 



1 3°. Si d'un point quelconque H de la parabole,on 

 mené une tangente H m à cette courbe , la partie i m 

 comprife entre le point où cette tangente rencontre 

 un diamètre quelconque tk. le point i fommet de ce 

 diamètre , eft toujours égale à i'abfciffe i q , qui ré- 

 pond à l'ordonnée qBde ce diamètre pour le point if. 



14 0 . Toutes les paraboles font femblables entre 

 elles & de la même efpece , ainfi que les cercles. 



1 5°. Si on fait paffer un diamètre par le concours 

 de deux tangentes quelconques , ce diamètre divife- 

 ra en deux parties égales la ligne qui joint les deux 

 points de contact : cette propriété eft commune à 

 toutes les ficelions coniques. 



Defcription de l'hyperbole. La règle IB T (fig. /6\) 

 eft attachée au point fixe /, autour duquel elle a la 

 liberté de tourner. A l'extrémité Tde cette règle eft 

 attaché un fil HB T , dont la longueur eft moindre 

 que IT; l'autre bout de ce fil eft attaché à un autre 

 point fixe H , dont la diftance au premier i" eft plus 

 grande que la différence qui eft entre le fil & la rè- 

 gle /T, & plus petite que la longueur de cette rè- 

 gle. Cela pofé , fi pendant que la règle / T tourne 

 autour du point Ion tend continuellement le fil par 

 le moyen d'un ftylet qui fuive toujours cette règle y 

 ce ftylet décrira la courbe appellée hyperbole. 



Les points H ètl (ont appellés les foyers. Le point C 

 qui divife en deux parties égales l'intervalle IHeil 

 le centre. Le point D qui eft celui où tombe le point 

 B , lorfque la règle 1 T tombe fur la ligne IH, eft le 

 fommet de l'hyperbole. La droite DK double de 

 DC, eft l'axe tranfverfe, la figure S K L égale & fem- 

 blable à BD T ? que l'on décriroit de la même manière. 



