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C O N 



êû attachant ïa règle en H, au lieu de l'attacher en 

 I , fer oit l'hyperbole oppofée à la première. 



Le rapport qui eft entre la diftance des points H 

 & /, & la différence du fil à la règle, eft ce qui ca- 

 raûérife l'efpece de l'hyperbole. 



Il y a une autre manière de décrire l'hyperbole , 

 -qui rend plus facile la démonftration de la plupart de 

 fes propriétés. Voici cette méthode. 



LL & M M (fig. étant deux droites quel- 

 conques données de pofition qui fe coupent en un 

 point C , §it D dC un parallélogramme donné , fi 

 on trace une courbe e D h qui ait cette propriété 

 'qu'en menant de chacun de les points c les parallè- 

 les ed, &ec kLL &c MM, le parallélograme c cdC 

 foit égal au parallélogramme DcCd, cette courbe 

 fera une hyperbole. 



La courbe égale & femblable à cette courbe que 

 l'on décriroit de la même manière dans l'angle op^ 

 pofé des lignes MM,LL, feroit l'hyperbole oppo- 

 îee. 



Les deux hyperboles que l'on décriroit avec le 

 même parallélogramme entre les deux autres angles 

 qui font les complémens à deux droits des deux pre- 

 miers , feroient les deux courbes appellées les hyper- 

 boles conjuguées aux premières. Voye^ Conjugue. 



Le point C cii les deux droites MM, LL, fe ren- 

 contrent , eft le centre de toutes ces hyperboles. 



Toute ligne paffant par le centre, & terminée aux 

 deux hyperboles oppofées , eft un diamètre de ces 

 hyperboles. Toutes les droites menées parallèlement 

 à la tangente au fommet de ce diamètre & terminées 

 par l'hyperbole, font des ordonnées à ce diamètre; & 

 les parties correfpondantes du prolongement de ce 

 diamètre , lefquelies font terminées par le fommet de 

 ce diamètre &: par les ordonnées , font les abfciffes. 



Un diamètre quelconque de deux hyperboles op- 

 pofées , a pour diamètre conjugué celui des hyper- 

 boles conjuguées , qui a été mené parallèlement aux 

 ordonnées du premier. 



Le paramètre d'un diamètre quelconque , eft la 

 îroifieme proportionnelle à ce diamètre & à fon 

 conjugué. 



Les lignes LL > MM font appellées les afymp to- 

 us 9 tant des hyperboles oppofées que des conju- 

 guées. Foyei Asymptote. 



Propriétés de Vhyperbole. i°. Les ordonnées à un 

 diamètre quelconque font toûjours coupées en deux 

 parties égaies par ce diamètre. 



2°. Les ordonnées à l'axe font les feules qui foient 

 perpendiculaires à leur diametre;les autres font d'au- 

 tant plus obliques , que le diamètre eft plus écarté 

 de l'axe ; & en comparant deux hyperboles de diffé- 

 rentes efpeces , les diamètres qui feront à même dis- 

 tance de l'axe , auront des ordonnées d'autant plus 

 obliques, que la différence de l'angle L CM à fon 

 complément fera plus grande. 



3 0 . Le quarré d'une ordonnée à un diamètre quel* 

 conque eft au quarré d'une autre ordonnée quelcon- 

 que au même diamètre , comme le produit de l'abf- 

 ciffe correfpondante à cette première ordonnée par 

 la fomme de cette abfciffe & du diamètre, eft au pro- 

 duit de Pabfciffe correfpondante à la féconde ordon- 

 née , par la fomme de cette abfciffe & du diamètre. 



4°. Le paramètre de l'axe tranfverfe eft égal à 

 l'ordonnée qui paffe par le foyer. 



5°. Le quarré d'une demi-ordonnée à un diamètre 

 eft plus grand que le rectangle de l'abfciffe corref- 

 pondante par le paramètre de ce diamètre. C'eft de 

 cet excès , appellé en Grec oVêpCo*}} , qu'eft venu le 

 nom de Vhyperbole, 



6°. Si d'un point quelconque B (fig, iG. ) on tire 

 deux lignes BU, BI aux foyers , leur différence 

 fera égale au grand axe ; ce qui fuit évidemment de 

 la première description, de l'hyperbole, 



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7 0 . Si on divife en deux parties égalés l'angle 

 HB I, compris les deux lignes qui vont d'un point 

 quelconque aux foyers , la ligne de biffection fera 

 tangente à l'hyperbole en B. 



8°. Les lignes droites LL, MM (jïg. iy. ) dans 

 lefquelies font renfermées les deux hyperboles op^ 

 pôfées & leurs conjuguées , font afymptotes de ces 

 quatre hyperboles , c'eft-à-dire qu'elles en appro- 

 chent continuellement fans jamais les rencontrer ^ 

 mais qu'elles peuvent en approcher de plus près que 

 d'une diftance donnée , fi petite qu'on la fuppofe* 



9 0 . L'ouverture de l'angle que font les afympto- 

 tes de deux hyperboles oppofées , caraclérife l'ef- 

 pece de cette hyperbole. Lorfque cet angle eft droit,, 

 l'hyperbole s'appelle équilatere , à caufe que fon axe 

 (latus tranfverfum^ & fon paramètre ( latus rectum^ 

 font égaux entre eux. Cette hyperbole eft à l'égard 

 des autres , ce que le cercle eft à l'égard des ellipfes. 

 Si par exemple fur le même axe , en variant l'axe 

 conjugué , on conftruit différentes hyperboles les 

 ordonnées de ces différentes hyperboles qui auront 

 les mêmes abfciffes , feront à l'ordonnée correfpon* 

 dante de l'hyperbole équilatere , comme l'axe con* 

 j ugué eft à l'axe tranfverfe. » 



io°. Si par le fommet d'Un diamètre quelconque 

 on tire une tangente à l'hyperbole , l'intervalle re* 

 tranché fur cette tangente par les afymptotes, eft 

 toûjours égal au diamètre conjugué. 



Si par un point quelconque m de l'hyperbole 

 0%- 2 S •) Gn ti f e à volonté des lignes K m H, rm R 

 qui rencontrent les deux afymptotes , on aura M R 

 z-mr, HE e= m-K : ce qui fournit une manière bien 

 fimple de décrire une hyperbole, dont les afymptotes 

 CQ, CT foient données , & qui paffe par un point 

 donné m : car menant par m une ligne quelconque 

 KmH, & prenant HE — m K , le point E fera à 

 l'hyperbole. On trouvera de même un autre point 

 M de l'hyperbole , en menant une autre ligne rm R y 

 & prenant MR — mr; & ainfi des autres. 



i2°. Si fur l'une des afymptotes O M (fig, /y.) 

 l'on prend les parties C I , C 1 1, C I 1 1 , C I F,C ^ 

 &c. qui foient en progreftion géométrique , & qu'on 

 mené par les points Cl, Cil , Cl II, C IV, les 

 parallèles li, 11%, 111^ , 1^4+ V "5 , &c. àl'au* 

 tre afymptote , les efpaces 1 % , 11 1 ,11 1 4, 1 

 F 6 , &c. feront tous égaux. D'où il fuit que fi l'on 

 prend les parties Cl, Cil, CI11, &c. fuivant 

 l'ordre des nombres naturels , les efpaces 1% , Il 3 , 

 111 4, &c. repréfenteront les logarithmes de ces 

 nombres. 



De toutes les propriétés des feclions coniques on 

 peut conclure : i°. que ces courbes font toutes en* 

 femble un fyftème de figures régulières , tellement 

 liées lés unes aux autres , que chacune peut dans le 

 paffage à l'inflfti , changer d'efpece & devenir fuc* 

 ceffivement de toutes les autres. Le cercle, par 

 exemple , en changeant infiniment peu le plan cou» 

 pant , devient une ellipfe ; & l'ellipfe en reculant fon 

 centre à l'infini , devient une parabole , dont la po* 

 fition étant enfuite un peu changée -, elle devient la 

 première hyperbole : toutes ces hyperboles vont en- 

 fuite en s'elevant , jufqu'à fe confondre avec la li-* 

 gne droite, qui eft le côté du cone^ 



On voit, 2°. que dans le cercle le paramètre eft 

 double de la diftance du fommet au foyer ou cen- 

 tre ; dans l'ellipfe , le paramètre de tout diamètre 

 eft à l'égard de cette diftance dans une raifon qui 

 eft entre la double & la quadruple ; dans la para- 

 bole cette raifon eft précifément le quadruple , & 

 dans l'hyperbole la raifon paffe le quadruple. 



3 0 . Que tous les diamètres des cercles & des el* 

 lipîes fe coupent au centre & en-dedans de la cour- 

 be ; que ceux de la parabole font tous parallèles en- 

 tr'eux ôi à l'axe ^ que ceux de l'hyperbole fe coupent. 



