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*au ■ centre ^ atifTi bien que ceux de l'eïlipfe , mais avec 

 ^cetîe différence que c'eft en-dehors de la courbe. 



On peut 9'inftruire des principales propriétés des 

 fections coniques , dans Y application de l'Algèbre- a la 

 "'Géométrh , .par M. Guifnée : ceux qui voudront les 

 "apprendre plus en détail , auront recours à l'ouvra- 

 ge de M. le marquis de l'Hôpital, qui a pour-titre , 

 'traité analytique des fictions coniques : enfin on trou- 

 vera les propriétés des fictions coniques traitées fort 

 ïm long dans l'ouvrage in-folio de M. de la Hire , 

 'qui a pour titre , fictioncsconicce in novem lïbrùs dif- 

 ■tributce.; mais les démonstrations en font pour la plu- 

 part très-longues , & pleines d'une fynthefe difficile 

 & embarraffée. Enfin M. de la Chapelle , de la fo- 

 ciété royale de Londres , vient de publier fur cette 

 matière un traité inftruclif allez court , approu- 

 vé par Facadémie royale des Sciences. 



Les fections coniques , en y comprenant le cercle, 

 tompofent tout le fyftème des lignes du fécond or- 

 dre -ou courbes du premier genre , la ligne droite 

 étant appellée ligne du premier ordre. Ces lignes du 

 fécond ordre ou courbes du premier genre , font 

 celles dans l'équation defquelles les indéterminées 

 x,y, montent au fécond degré. Ainfi pour repréfen- 

 ter en général toutes les fetlions coniques -, il faut 

 prendre une équation dans laquelle x , y, montent 

 au fécond degré , & qui foit la plus compofée qui fe 

 puiffe ; c'eft-à-dire qui contienne , outre les quarrés 

 x x Scyy, i° le plan x y, 2. 0 un terme qui renfer- 

 mex linéaire, 3 0 un terme qui contienne y linéaire, 

 &: enfin un terme tout confiant. Ainfi l'équation gé- 

 nérale des fections coniques fera 

 y y -\- p xy -\- b x x r\- c x -{- a = g. 



Cela pofé , voici comment on peut réduire cette 

 équation à repréfenter quelqu'une des fections coni- 

 ques en particulier. 



2 2 



hxx-~ q -^-\- c x -\- a = 0* Equation qu'on peut 



changer en celle-ci 



ll-\'Axx-\-Bx + C=o. On verra facilement 

 que les nouvelles coordonnés de la courbe font & 

 une autre ligne u qui eft en rapport donné avec x 9 

 deforte qu'on peut fuppofer x=imu; ainfi l'équation 

 pour les coordonnées fera 



l^-\-D u F u-\- G = o. 



Or, i° fi D = la courbe eft une parabole: 2. 0 

 fi D eft négatif, la courbe efl: une ellipfe ; & elle 

 fera un cercle , fi D = — 1 , Se que l'angle des coor- 

 données £•& u foit droit : 3 0 fi D efl pofitif, la cour- 

 be fera une hyperbole. Au refte il arrivera quelque- 

 fois que la courbe fera imaginaire, lorfque la valeur 

 de 1 en u fera imaginaire. 



C'eft ainfi qu'on pourrait parvenir à donner un 

 traité vraiment analytique des fections coniques ; c'eft- 

 à-dire où les propriétés de ces courbes feroient dé- 

 duites immédiatement de leur équation générale , 

 & non pas comme dans l'ouvrage de M. le marquis 

 de l'Hôpital , de leur defeription fur un plan. M. 

 l'abbé de Gua a fait fur ce fujet de fort bonnes ré- 

 flexions dans fon ouvrage intitulé, ufages deïanalyfi 

 de Defcartes , & il y trace le plan d'un pareil traité. 



M. le marquis de l'Hôpital , après avoir donné 

 dans les trois premiers livres de fon ouvrage les 

 propriétés de chacune des fections coniques en parti- 

 culier, a confacré le quatrième livre à expofer les 

 propriétés qui leur font communes à toutes: par 

 exemple , que toutes les ordonnées à un même dia- 

 mètre foient coupées en deux également par ce dia- 

 mètre, que les tangentes aux deux extrémités d'une 

 même ordonnée aboutiflent au même point du dia- 

 mètre ,&c. 



CON 



les anciens avoient confidéré d'abord les ferions 

 coniques dans le cone où elles font nées ; & la meil- 

 leure maniere-de traiter ces courbes ferait peut-être 

 de lesenvifager d'abord dans le cone, d'y chercher 

 leur équation , & de les tranfporter enfiiite fur le 

 plan pour trouver plus facilement par le moyen de 

 cette équation leurs autres propriétés ; c'eft ce que 

 M. de la Chapelle s'eft propofé de faire dans l'ou- 

 vrage dont nous avons parlé. 



Quelques auteurs, non contens de démontrer les 

 propriétés des fections coniques fur le plan , ont en- 

 core cherché le moyen de démontrer ces propriétés, 

 en confidérant les fections coniques dans le cone mê- 

 me. Ainfi M. le marquis de l'Hôpital a confacré le 

 fixieme livre de fon ouvrage à faire voir comment 

 on retrouve dans le folide les mêmes propriétés des 

 fictions coniques démontrées fur le plan : il a rempli 

 cet objet avec beaucoup de clarté & de fimplicité. 

 Dans cet article nous avons envifagé les fections 

 coniques de la manière qui demande le moins d'ap- 

 prêt, mais qui n'eft peut-être pas la plus naturelle : 

 la méthode que nous avons fuivie convenoit mieux 

 à un ouvrage tel que celui-ci ; & celle que nous pro- 

 pofons conviendroit mieux à un ouvrage en forme 

 fur les fections coniques. Voy^ les articles COURBE , 

 Lieu, Construction, &c. 



Pour démontrer les propriétés des fictions coniques 

 dans le cone , il efl bon de prouver d'abord que toute 

 fiction conique efl une courbe du fécond ordre , c'efi> 

 à-dire où les inconnues ne forment pas une équa- 

 tion plus haute que le fécond degré. Cela fe peut 

 proùver très-aifément par l'Algèbre , en imaginant 

 un cercle qui ferve de bafe à ce cone , en faifant les 

 ordonnées de la fiction conique parallèles à celles du 

 cercle , & en formant des triangles femblables qui 

 ayent pour fommet commun celui du cone , & pour 

 bafes les ordonnées parallèles , &c. Nous ne faifons 

 qu'indiquer la méthode : les lecteurs intelligens la; 

 trouveront fans peine ; & les autres peuvent avoir 

 recours à la théorie des ombres dans l'ouvrage de 

 M. l'abbé de Gua, qui a pour titre ufages de Vanaly- 

 fe de Defcartes , Sec. 



Cela bien démontré , il eft vifible que la fection 

 d'un cone par un plan qui le traverfe entièrement y 

 ne peut être qu'une ellipfe ou un cercle ; car cette 

 fe&ion rentre en elle-même , & ne fauroit être par 

 conféquent ni hyperbole ni parabole : de plus , fon 

 équation ne monte qu'au fécond degré , ainfi elle ne 

 peut être que cercle ou ellipfe. Mais on n'a pas trop 

 bien démontre dans quel cas la fection efl un cercle 

 ou une ellipfe. 



i°. Elle efl: un cercle, lorsqu'elle eft parallèle à 

 la bafe du cone. 



2 0 . Elle eft encore un cercle, lorfqu'elle forme 

 une fect ion fous-contraire , & lorfqu'elle eft de plus 

 perpendiculaire au triangle pafiant par l'axe du co- 

 ne, & perpendiculaire lui-même à la bafe ; cela eft 

 démontré dans plufieurs livres. Voye^ Sous-CON- 



TRAIRE. 



3 0 . Il eft aifé de conclure de la démonftration qu'- 

 on donne d'ordinaire de cette propofition , & qu'on 

 peut voir, fi l'on veut, dans le traité des fictions co- 

 niques de M. de la Chapelle, que toute fection per- 

 pendiculaire au triangle par l'axe , & qui ne fait pas 

 une fe&ion fous-contraire , eft une ellipfe. Mais lï 

 la fe&ion n'eft pas perpendiculaire à ce triangle , il 

 devient un peu plus difficile de le démontrer. Voici 

 comment il faut s'y prendre. 



En premier lieu , fi dans cette hyperbole la fiction, 

 conique paffe par une autre ligne que celle que forme 

 la fection fous-contraire avec le triangle par l'axe y 

 il eft aifé de voir que le produit des fegmens de deux 

 lignes tirées dans le plan de la courbe ne fera pas 

 égal de part &; d'autre ; Se qu'ainfi la courbe n'eft 



