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a) Si, dans une matrice, la somme des éléments de chaque file 

 est nulle, c'est-à-dire si on a les np n ~ l égalités : 



^(*„...,t«) = 0 (i = l,...,p;<T=l, ...,»), 



i° tous les pénédéterminants (d'espèce > 2) et tous les superdé- 

 ter minants sont uniformément nuls ; 



2° dans chacune des p n ~ K Ç^j couches de classe paire k < v, 

 menées suivant toutes directions signantes, il y a égalité entre les 

 premiers mineurs (en nombre p*) ; 



S" si k = v, la valeur de ces mineurs varie eu (/encrai d'une de 

 ces couches à une autre. 



Le principe d'addition des tranches rend évidente la pivinière 

 partie de l'énoncé. Pour l'annulation du superdéterminant de 

 genre g, il suffit du re- te que soit nulle la somme des éléments de 

 chaque file pour 



n-flf + l+b-U-iîo 

 directions ; et pour l'annulation des(^ pénédéterminants d'es- 

 pèce v, il le faut dans n — v + 1 directions. 



Quant à la propriété des mineurs, il suffit de l'établir pour les 

 déterminants de classe paire {n = v), ce qui est aisé en considé- 

 rant les sous-matrices relatives à deux points adjacents quel- 

 conques et en appliquant encore le principe d'addition des 

 tranches ('). 



11 est aisé de voir que le théorème n'a pas lieu pour les per- 

 manents (qui sont en quelque sorte des pénédéterminants 

 d'espèce zéro). 



(M Cf. nos Leçons sur la théorie des déterminants à n ditnensi 

 Paris, 1910, p. 46. 



