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Pour le 2', remarquons que, chaque couche ayant même struc- 

 ture que la matrice entière, on peut décomposer tout déterminant 

 partiel d'un superdéterminant de genre # = 2r, d'après la pro- 

 priété du 1°. En tenant compte du nomhredes couches distinctes, 

 on voit que le superdéterminant est égal à une somme de (^gj 7 *™ 9 

 produits, chacun de deux déterminants d'ordre tt ; or les matrices 

 de ces déterminants sont deux à deux les couches qui se corres- 

 pondent dans les deux matrices intervenant dans l'expression 

 ci-dessus. On en conclut aisément la seconde partie du théorème. 



La propriété n'a pas lieu pour les péuédéterminants, car si 

 l'espèce diffère de la classe, l'addition des tranches ne peut s'ap- 

 pliquer dans toutes les directions, ce qui est nécessaire. 



Remarquons que, suivant une méthode qu'on pourrait qualifier 

 de pnrdviu'triijiw et qui se présente tout naturellement dan- l'élude 

 des matrices actinales et actinales gauches ('), la matrice étudiée 

 peut se définir de la manière suivante : 



(± a ) 2 valant l'unité ou zéro suivant que les cr sont ou ne sont pas 

 tous inégaux entre eux. Tous les éléments d'une même famille (si 

 l'on veut, conjugués entre eux) sont représentés par une même 

 fonction symétrique (nous avons choisi la fonction somme) de la 

 famille correspondante des éléments pris dans la matrice générale 

 Il (t„ ...,*») Il p- 



11 importe de noter qu'en réalité cette forme spéciale ne parti- 

 cularise pas la matrice et lui conserve au fond toute sa généralité. 



{h Un prochain mémoire sera consacré à l'exposé des nombreuses et inté- 

 ressantes propriétés .If- diverses sortes de déterminants actinaux et actinaux 



pt'.iflien. On verra alors tout.: l'élégance «le la méthode paramétrique, qui per- 

 met de simplifier beaucoup les démonstrations. 



