5. 



Brocard, et P a , ? b , Pc sont les sommets du premier triangle de 

 Brocard de ABC. 



b. Appelons maintenant L a , L&, U les points où une droite 

 fondamentale l, d'équation XX -f juY + vZ = 0, coupe les côtés 

 a, 6, c de ABC, et soient toujours L' a , L' b , L' c les points d'inter- 

 section de ces côtés avec la droite unitaire. 



Les droites L b L' c , L e L' a , L a L'& rencontrent a, b, c en des points 

 N a , N 6 , i\ c situés sur une même droite n, de coordonnées 

 — , ~, jU De même les points d'intersection N' a , N'&, N' c de 

 a, 6, c avec les droites L'aLc, L' e L a , L' a Lb sont situés sur une même 

 droite n', de coordonnées — , — . 



Les droites n et «' sont les Brocardiennes de 



Les coordonnées des droites N ft N' c , N C N'«, N a N' b sont 

 (X, v, M ), (v, u, X). (m, X, v), 

 ces droites sont les semi-réciproques de /. Elles rencontrent cr, 6, c 

 en trois points de la droite f-î-, —, -J- }, qui est la réciproque 

 de i. 



Si X, Y, Z sont des coordonnées normales, la droite unitaire 

 passe par les pieds 0' a , (J' b , 0' c des bissectrices extérieures du 

 triangle ABC. Pour la droite fondamentale adoptons la polaire A; 

 du point .1 par rapport au cercle inscrit 1. La comparaison des 

 équations (3) et (11) montre que les droites g et g' sont les Bro- 

 cardiennes de k ; donc les points S a , S&, S e , S' a , S',„ S' c sont situés 

 respectivement sur les droites E'Q' C , F'Q'a, D'Q'b, Q' b V, Q' C D\ Q'aE'. 

 Les droites g & , g b , g c sont les semi-réciproques de k. Remarquons 

 aus»i «pie les points (/;,, q..,), (g b , q b ), (g c , q c ) appartiennent à la 

 droite k. 



II. DUALISATION DU CERCLE DE BROCARD 



Des études sur la géométrie non-euelidienne du triangle avaient 

 conduit D' L. Berwald à une parabole que l'on peut regarder 

 comme une transformée par dualité de la circonférence de Brocard. 

 Cetta conique est tangente aux droites 



Q, 9\ 9*, 9b, 9c 



