8. 



rapport au cercle DEF. D'après un théorème de Poncelet, la polaire 

 réciproque de A est une conique qui a pour foyer le centre I du 

 cercle directeur de la transformation et pour directrice la polaire 

 du centre M du cercle transformé A. Comme elle est symétrique 

 par rapport à la ligne IM des centres et qu'elle touche les polaires 

 des points I et J de A, cette courbe se confond avec la conique W. 



8. La polarisation des autres éléments du cercle de Brocard 

 présente quelque intérêt. 



Soient 9 l'angle de Brocard, Q 1 et Q 2 le premier et le second 

 point de Brocard du triangle DEF, de sorte que si D, E, F désignent 

 les angles de ce triangle, on a : 



cot 6 = cot D + cot E + cot F = tg | A + tg | B + tg| G, 

 e = QjDE = Q,EF = Q t FD = DEQ 2 = EFQ 2 = FDQ 8 . (14) 



La circonférence DEF recoupe les droites DQ,, EQ,, FQ, en des 

 points E„ F„ D,, et les droites Dft 2 , EQ 2 , FQ, en des points F 2 , 

 D 8 , E„. Des égalités (14) on conclut facilement que les angles au 

 centre I : 



DID„ EIE,, FIF,, DJD, E 2 1E, F 8 IF 

 sont égaux à 29. 



Pour abréger le discours, désignons par y ou — \\> une rotation 

 du plan ABC sur lui-même autour du point I respectivement dans 

 le sens positif DEF ou dans l'autre sens, l'angle de rotation étanl 

 égal à 29. Ces deux rotations font coïncider le triangle DEF respec- 

 tivement avec les triangles D^F^ D 8 E 8 F 8 . On constate en même 

 temps que Q, est le second point de Brocard de DjE,F, et que Q 2 

 est le premier point de l'.roranl de l>,KJ ; autrement dit, Q 2 et 

 ^! sont des points homologues des triangles égaux DEF l),E,l'|. 

 et aussi des triangles égaux IU\J\ 2 , DKF. On retrouve aussi les 

 relations : 1Q 2 = IQ„ angle Q 8 1Q, 29 



Les polaires f„ t 2 des points Q,, Q, sont également des éléments 



(') Les propriétés des triangles D,E X F, et DgEgFg ont été signalées par 

 D r W. Godt (Lûbeck). 



