0 étant le point de rencontre des droites BY' et OX', décrivons 

 encore, de 0 comme centre avec le rayon 015, une circonférence 

 qui coupe p, aux points A et A,. Les triangles ABC et A,BG 

 résolvent le problème. 



Pour que la construction soit possible, /*., ne peut surpasser la 

 hauteur du triangle isocèle ([ni correspond à l'égalité a 4 = 6 4 + c 4 ; 

 le maximum de h a est ~ \/\'S — 1 . 



c. Supposons b > c et soit H a le pied de la hauteur issue de A ; 

 en faisant H a C = y, H a B = p, H a M« = a, on a : 



a = p -J- T = h a (cot B -f cot C). 



D'autre part, dans le triangle M a BM, 



A. « = * /, a cot M.BM, d'où a = - A. cot 2 A. 



En égalant les deux valeurs de « on ohlienl : 



(3) cot 2 A -f cot B + cot C = 0. 



Si iu est l'angle de Brocard du triangle ABC, l'égalité (3) donne 



cosj A cos A m _ Q 1 -f-cotm - 0, 



sin 2 A sin A sin 2 A 



(4) sin2A = tgw. 

 On a vu que 6 2 + c- = an' ; par suite, 



a' + o« + c' a(a+«) MX _ MB 



Il résulte de là que l'angle de Brocard de ABC est égal à MX'Mn ; 

 De T = l o, on conclut pf = T « 2 - a 2 . 



Mais b 9 - + Y 2 , c 2 - + P 2 , 



d ' 0u 6 « _ c * = f - p* - ( T + P) (Y - P) - « • 2a. 



