Cercles et sphères remarquables 

 du triangle et du tétraèdre 



V. THÉHAUL' 



I. Dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 19J0, p. 278, 

 nous avons donné des cercles remarquables du plan d'un triangle 

 qui nous ont suggéré des résultats généraux d'une grande sim- 

 plicité. 



i . Des projections a, y d'un point P du plan sur les cotés d'un 

 triangle ABC, comme centres, on décrit des circonférences ortho- 

 gonales à une circonférence, réelle ou imaginaire, dont le centre P' 

 est le conjugué isogonal de P par rapport au triangle. Elles 

 coupent les côtés du triangle en si.r points, a et a', b et b', c et c', 

 d'une circonférence de centre P. 



En effet, 



PÀ 2 = aa + Va = aP' 2 - p 2 f Pa 2 



a , PP' 2 . 4r ! + </ 2 -2p 2 

 = 2auJ ! 2 — P 2 -~«>ost., 



r, p et d désignant les rayons des cercles apr et P' et la distance 

 PP', uu étant le milieu de PP. 



Six points obtenus avec P' et P sont de même sur une circonfé- 

 rence de centre P'. En particulier, lorsque P et P' sont l'ortho- 

 centre et le centre du cercle circonscrit au triangle, p étant nul, 

 nous retrouvons nos cercles de 1910. 



Réciproquement, si une circonférence P de rayon R coupe les 

 côtés BC, CA, AB d'un triangle en a et a', b et b', c et c , les circon- 



