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férences décrites sur aa', bb , ce' comme diamètres ont pour centre 

 radical P , conjugué isogonal de P pur rapport au triangle. 



P est en effet le centre d'une circonférence, réelle ou imagi- 

 naire, orthogonah 1 aux trois circonférences données, et 



d'où 



2. Des projections a, p, y, & d'un point P sur les faces d'un 

 tétraèdre ABCD, comme rentres, on décrit des sphères orthogo- 

 nales à une sphère, réelle ou imaginaire, dont le centre P est le 

 conjugué isogonal de P par rapport au tétraèdre. Elles coupent 

 les faces du tétraèdre mirant quatre cercles V a , V b , V c , V d situés sur 

 une sphère de centre P. 



Si a est un point de V n , r et p les rayons des sphères afab et P', 

 T le milieu de PP', comme précédemment, 



p -, = /( ,.« + rf._2 p> =comt 



Pareillement, quatre cercles V„, P 6 , Pc, V' d obtenus avec P' 

 et P, sont sur une sphère de centre P'. 



Réciproquement , si une sphère P coupe les faces d'un tétraèdre 

 suirant ijuatre récries V„, V b , l~ c , Yd, le< sphères décrites sur ces 

 cercles comme grands cercles, ont pour centre radical P' le con- 

 jugué isogonal de P par rapport au tétraèdre. 



Ces deux réciproques forment la question '.M 7(1 proposée par 

 S. Roberts (Kih cation w. Timks, 18S7, p. u 27(i) et démontrée par 

 M. .\euberg, pour la première Ibis, dans le journal anglais, ISN7. 

 p. 305. 



3. Enfin, voici un théorème plus général qui nous a été com- 

 muniqué tout récemment par M. N'euberg : 



Une ellipse ou une hyperbole de foyers F et F tourne autour de 

 l'axe focal. Une sphère décentre F rencontre un plan tangent à la 

 qu ad ri ipœ ainsi engendrée suivant un cercle C. La sphère I 

 décrite sur C comme grand cercle est de puissance constante par 

 rapport à F'. 



