En effet, soient R et r les rayons de la sphère de centre F et du 

 cercle G, uj le centre de G, 0 celui de la quadrique ; la puissance 

 de F', par rapport à la -phèn' X, est : 



F'w 2 - r 2 = F> 2 - (R 2 - Fuj 2 ) — 20w + - R 2 = const. 



II. Soient un triangle ABG, 0 son cercle circonscrit, Aa, Bp, Ct 

 trois droites rencontrant BG, CA, AB en a, p, y, de manière que 



angle (Aa, GB) = angle (BP, AC) = angle (Ct, BA). 



On mène par a les parallèles ap, et aï 2 à BP et Gt qui rencon- 

 trent AG et BA en P 2 et t 2 ; on obtient de même des points a, etp 2 , 

 P, et a 2 , sur GB et BA, AC et CB. 



Dans I'Intermédiaire des Mathématiciens, 1905, p. i~2K M. Malo 

 fait remarquer que les six points a,, a 2 , p,, p 2 , ï n t 2 sont sur un 

 même cercle, de centre uj, et se demande si ce cercle joue un rôle 

 en Géométrie du triangle, au moins lorsque les droites Aa, BP, Gt, 

 sont les hauteurs du triangle ABG. 



M. Neuberg, Matuesis, HHMi, p. 83, propos - de démontrer que 

 le cercle uj signalé par M. Malo est un cercle de Tacher. Ge journal 

 l'ait suivre la solution de la question proposée de remarques 

 intéressantes. 



A notre tour, nous voudrions développer d'autres propriétés 

 de la même figure qui constituent peut-être une contribution 

 nouvelle à la Géométrie du triangle. 



\. Le cercle uj étant un cercle de Tucker du triangle ABC, les 

 droites Ojp 2 , p,Tj, T,^, déterminent un triangle U« U& U c symé- 

 triquement semblable à ABG Le centre a" homothétie de ces trian- 

 gles est le point I\ de Lemoine qui leur est commun. 



Le centre w est sur la perpendiculaire à GB, par exemple, qui 

 passe à l'intersection de a,r 2 et P,o 2 et contient les milieux Q, et Q 2 

 de a,a, et P,t 2 . a et u étant les milieux de CB et Ul Aa et U a w 

 sont parallèles et contiennent Q, et Q 2 . Donc aQ, — «Q 2 , et le 

 centre Q du cercle U, t U,,U c , situé sur OK, est le symétrique de 0 

 par rapport à uj. 



Les triangles ABa et Aar, étant semblables. 



Aï, . y, 13 = Aâ 2 — AïV 



