5. 



BCD, CDA, DAB, ABC en A', B', C, D' respectivement. On trace 

 t'Hsnilo les droites A'n lt A'ï\ 2 , A'a 3 qui coupent les arêtes AB, AC, 

 A D de man ière que 



angle AA'a, = angle ABA' ; angle AA'a 2 = angle ACA' ; 

 angle A A a 3 = angle ADA. 

 On obtient de même des points (b„ b 2 , b s ), (c„ c„ c 3 ), (d,, d î? d 3 ) 

 sur (BA, BC, BB), (CA, CB, CD), (DA, BB, DC). On peut faire 

 passer des sphères V a , r c , V d par les groupes de six points 

 (B, C, D, a n a s , nj, (A, C, D, b n b 2 , bj, ... Le centre radical de 

 ces sphères est le point dont la somme des carrés des distances aux 

 faces du tétraèdre est minimum. 



III. Le Journal de Vuibert, puis Ed. Lucas, Mathesis, 1889 

 p. 180, ont signalé des cercles intéressants du triangle. Nous 

 allons développer succinctement des résultats plus généraux. 

 Un triangle de côtés BC = a, CA = 6, AB= c, étant donné, trois 

 cercles w a , w^, uu c tangents respectivement en A, B, C au cercle 0 

 circonscrit au triangle, se coupent : tu rt et tu;,, uu& et w c , w c et tu«, 

 sous un même angle 6. Des calculs simples donnent les expres- 

 sions suivantes des rayons p«, p&, p c de ces cercles : 



_ ftcR . = acR . 



Pa *" aRV%l-co7ej ±bc' Pb ~ 6RV2(1 - coTë) ± ac ' 



= abtt 



Pc r\\\"2( \ - cosG) ± ab' 

 On en déduit, par exemple, 



g ± Ç>g . R ± Pft = O* . R ± p b . K ± Pc = ^ . 



Pa ' Pb b* ' p b ' Pc C* ' 



R * Pc . R ±P« = l . 



et, S, T, U étant les points où les lignes w 6 uu t ., w (; uu 0 , w a Wft des 

 centres rencontrent respectivement BC, CA, AB, 



SC : SB — c* : 6* ; TA : TC _ a' : c* : UB : UA = b' : a\ 

 S, T, U, sont donc trois points de la droite A de Lemoine du triangle 

 ABC. 



Les deux triangles ABC et \u u u) b w c sont homologiques, le centre 

 étant 0 et l'axe la droite A de Lemoine. De plus, les cercles w«, 



