B'C, C'A', A'B', les parallèles, PY, T V, a'p' à BC, GA, AB se con- 

 fondent avec, ces droites, et 



ABC 2 = AW x ^Pt. 



Nous retrouvons ce théorème déjà ancien de Gergonne 

 (Vnnales de Gergonne, 181 1, p. 93 et Nouvelles Annales de 

 Mathématiques, 1844, p. 27) : 



On considère un triangle A B'C inscrit à un triangle ABC. Par 

 les som mets de ABC on mène les parallèles aux côtés du triangle 

 A'B'C qui déterminent un triangle apr. Uaire de l'angle ABC est 

 moyenne proportionnelle entre celles des triangles A'B'C et apy. 



3. Le cas où le triangle A'B'C, par exemple, est aplati, mérite 

 un examen particulier. 



Les droits py, Ta, ap sont alors parallèles, sans que, en général, 

 PY, ï'a', a'p' se coupent en un même point. 



Ces dernières déterminent un triangle ct'p'f semblable à ABC, 

 et^si Von désigne par \ et u les angles de la droite A'B'C avec 



a'p 72 : AB 2 — ^PY : ABC = (ab' sin X + a'b sin u) 2 : 4ABC 2 . 

 Trois points A', B', C étant donnés en ligne droite, la condition 

 nécessaire et sulfisantn pour que trois droites PY, ï'a', e'p', issues 

 de A', B', C et coupant les côtés BC, CA, AB d'un triangle sous le 



C'A', A'B', soient proportionnels aux projections (d'angle (tt — 6) 

 dans le même sens que 6) des rôles BC, CA, \\\ sm la droite 



AB de A', B', C, le triangle a'PY ainsi détermine est tel que 



