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4. On peut partir du théorème de Gergonne pour arriver à 

 notre théorème général du paragraphe i. 



Inscrivons dans ABC un triangle A"B"C" homolhétique à ctpr. 

 Les figures (ABC, A"B"C") et fa'PY, A'B'C) sont semblables et 



ABC : ôpr = FFC 7 "' : ABC = M' : <7pY ; 

 d'où la relation (1). 



5. Le théorème de Gergonne a été étendu, dans le plan, aux 



pnly^oilt'S ([ih'lroïKj lies (Ni U'VKLLKS A.NNALES, 1844, [). 27) : 



Etant donnés deux polygones (P) et (P') homothétiques, on 

 désigne par (tt) m/i troisième polygone circonscrit au premier et 

 inscrit au second. Sa surface est moyenne proportionnelle entre 

 celles des deux proposés. 



Voici un énoncé plus général : 



Etant donnés un polygone (P) semblable à un polygone (P'), 

 rnntjle de similitude étant 0, un polygone (tt), inscrit à (P), sem- 

 blable à un polygone yn') circonscrit à (P'), C angle de similitude 

 étant (tt — 0) rfans te m« ; //w .w?a- rfe jv/toZ/o» 9, on a la rela- 

 tion d'aires : 



(P) X (P') - (tt) X (TT'). 



La démonstration est analogue à celle du paragraphe 4, en 

 considérant un polygone (tt,) inscrit à (tt) et homolhétique à (P). 

 Or, on peut toujours construire (tt,). Soient, en effet, A, A 2 ... A» 

 le polygone (tt) ; A\ A' 2 ... A'„ le polygone (P). Si 0 est le centre 

 d'homothétie, a,, a 2 , a„, les sommets de (tt,) ; S, S', S, les 

 aires de (tt), (P) et (tt,), 



0^ : ôy] = ^ : \\\ r î = v'S^ : Vo- 

 ilais S, . S' = S* ; 

 d'où 0«; : W] — S : S'. 



0 est donc sur une droite A, homothélique de A, A„ par rapport 

 à A', ; il est de même sur une droite A 2 homothétique de A,A 3 

 par rapport à A' 2 . L'intersection de A, et A 2 détermine le point 0 



6. Nous désignons par M, N, P et M', N", P' les points où BC, 

 CA, AB et B'(7, C'A', A'B' sont respectivement rencontrés par pr, 



