Pour abréger, posons : 

 a« + ft' + c« = g\ a\ + b\+c\=*q\, a' 2 -f 6'» + c' 2 - ?'\ 

 et soient ai, w n uj', S, S M S' les angles de Brocard et les aires des 

 triangles ABC, A.B.C,, A'B'C', de sorte que 



COtu, = fs"' cotuj i = ^' cotLU= fs ? - 



La présente note traite des triangles A.B,^ et A'B'C ; elle ren- 

 ferme des résultats inédits et des démonstrations assez simples 

 de quelques propositions déjà connues ('). 



1. Les droites AA', BB', GC sont les résultantes des lignes bri- 

 sées ABA', BGB', GAC. Or les composantes AB, BC, GA ont une 

 résultante nulle, et il en est de même des composantes BA', GB', 

 AG' qui sont proportionnelles à BG, CA, AB et également inclinées 

 sur ces côtés. On en conclut que les droites AA', BB', CC' sont 

 équipollentes aux côtés d'un triangle A 1 B 1 C 1 . On peut prendre 

 pour A^C, le triangle AA'P que l'on obtient en menant la 

 droite A'P équipollente à BB'. 



2. Le triangle A, B.C.. 



Premier cas. — Le triangle ABA' donne : 



, . a' sin 2 M _ 2qg sin M cos (B + L) 

 1 6 ^ sin 2 N sin N 



Développons cos (B + L) et remarquons que 



2 ac cos B = a 2 + c* - b\ "lac sin B = 4S ; 



il vient : 



<sinNsin(L-f-M)=c 2 ?inNcosMsinL + ...+4SsinLsinMsinN. 

 D'où en divisant par sin L sin M sin N, et par analogie : 



(X + u)« î l = MC 2 -fva 2 -f\6 2 + 4S, ) 

 (A-fu)& 2 , = u« 2 + v& 2 -f\c 2 + 4S, (1) 

 (X + H)c« 1 =M& , +vc« + Xa , + 4S. \ 



Annales de l'Association française pour l'avancement des Sciences, 

 1881, p. 153 et 1893, pp. 34-42. Mathesis, 1904, p. 98; 1882, p. 76; 1889, 

 p. 191 ; 1882, p. 116. 



