En additionnant les équations (5) on obtient : 



(X -}- M) r/ 2 = (X + u + 3v + 3 tg u>) q\ (6) 

 La comparaison des formules (5) et (1) suggère des consé- 

 quences intéressantes. En effet, posons : 



et remarquons que \y + |uV -f v'X' = 1 ; il en résulte que 

 X', m', v' sont les cotangentes des angles d'un triangle L'M'N'. Con- 

 struisons maintenant extérieurement sur les côtés du triangle 

 ABC les triangles BCX, CAY, ABZ semblables à L'M'N' ; les droites 

 AX, ri Y, CZ seront équipol lentes aux côtés a", b", c" d'un triangle 

 A"B"C" et nous pourrons écrire : 



(X' + M') «" 2 = MV + W + X'6 2 + 4S,... 



D'autre part, les égalités (5) prennent la forme 



(X -f u) a" = \'b* + u'c 2 + v'a % -f 4S,... 



Par conséquent, 



(7) 



Ainsi, les côtés du triangle A'B'C sont proportionnels aux droites 

 AX, BY, CZ et ce triangle est semblable à A"B"C". 



Soient S" la surface du triangle A' B 'C" et 0' l'angle de Brocard 

 du triangle L'M'N', en sorte que 



cot9' = X'-f-u'-f v'=X + M + 3v, (X+ju)^=(eote'+3tgu J )9 2 . 

 Des relations (7) et (3) on conclut : 



(X -f u) S' = (X' + m') S" = (cot 9' 4 cot iu)S, (8) 



s. Les formules correspondantes s< 

 (X -f- u) q % — (cot 0' - 3 tg uu) q\ 

 (X + M ) S' = (cot 6' — cot uu) S, 

 . , cot uu cot 9' -3 



