circonférence W de centre 0 ; les circonférences analogues décri- 

 tes des centres Q b et P b ou des centres Q c et P c se coupent sur la 

 même circonférence W. 



En effet, désignons les longueurs égales DD", EE", FF" par t en 

 les considérant comme positives si elles sont dirigées à partir de 

 D, E, F vers le centre 1. On trouve facilement pour les rayons b, 

 b' des cercles V a , U« : 



b 2 - (Q.M. - if + MD 4 , b' 2 = (P.P' - t)* + PË 2 ; 



l'hypothèse t = 0, d'après la proposition A, donne b 2 + b' 2 = R 2 . 

 Par suite, dans le cas général, 



6 ! + b' 2 = 4R 2 + 2* (Q.M. + P.P') 



= 4R'-f-2/(r6 + rc + r + r.) 

 = 4R' + 2<(2R + r). 

 Soit L l'un des points d'intersection des circonférences U a et V a 

 et désignons par p la médiane OL du triangle SP a Q a . On a : 



2p 2 =5 2 + b' 2 -2R 8 ; 

 d'où en substituant l;i valeur <le 5 2 -f b' 2 , 



P = \jR* + t\— <(2R + r). 

 Ce résultat démontre la proposition I). 



Si les longueurs I»D", EE", FF" sont dirigées vers l'extérieur de 

 ABC, le rayon du cercle W a pour expression \ T» 2 -j- C- + t("2R+r). 



qui divisenTdans un même rapport les rayons I,K, l,K a , I a F a du 

 cercle exinscrit l a . La circonférence V'« de centre Q a et passant 



Snc^ e^lefaD'"! 



e 2 - (Q.M. -f ty + Ml)!, e' 2 = (P a P' - 0 2 + Î*E'«. 



