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si : a une valeur positive suffisamment grand.'. Autrement dit, 

 l'accroissement de Log r (:) est approximativement uniforme dan - 

 un intervalle limité. Il s'ensuit que la valeur moyenne de 

 Log T (g) pour l'intervalle z, + 1) est à peu près égale soit à 

 Log T (z soit à Log T (t) + | Log z. Cette valeur moyenne 



étant donnée par l'intégrale de Raabe, ou obtient ainsi les for- 

 mules d'approximation de Stirb'ng et Gauss. Soit en effet 



M {z) - Log T (£) di 

 l'intégrale de Uaabe ; on a 



M' {z) = Log T (z + 1) - Log T (:) - Log 

 d'où, c étant une constante à déterminer, 

 z Log z - z + c = M (:) 



= £ Log r ( 2 + .t) <fe 



= £ [Log T (:) + x Log z — q (z, œ)] dx 



- Log T (:) + | Log 2 - £ 9 ( 2 , *) (te, 



re qui donne la formule de Stirling 



(4) Log F <0) = (0 - 1) Log 0 - 0 -f c + « (0). 



D'après les inégalités (2), la valeur absolue de la fonction 



ct>(s)= 



est moindre que i : ^2z. 



Ajoutons Log s à chaque membre de l'équation (4), il vient 



(4a) Log f (0 + i) - (0 + 5) Log s - s + c + <t> (0). 



