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(U 4 , U' 4 ). Si l'on partage ceux-ci en deux groupes de trois points 

 tels que U^U, et U'^U'j, U.UJJ's et U'.U'^, U 1 U 3 U' 2 et 

 U'.U^U,, U 2 U 3 U', et U'jU^U,, les centres des deux circonférences 

 passant pur les triples d'un même groupe sont les foyers d'une 

 conique inscrite au triangle A,A 2 A 3 et sont en ligne droite avec le 

 centre radical des cercles A „ A 2 , A 3 . Si le centre de la circonfé- 

 rence UjUjU 3 , par exemple, tombe mr la circonférence A,A 2 A 3 , les 

 points U' n U' 2 , U' 3 sont sur une même droite. 



Soient S le centre radical des cercles A,, A.,, A 3 , et a,, a 2 , a 3 , 

 les symétriques du centre uu du cercle circonscrit au triangle 

 U,U 2 U 3 , par exemple, par rapport à A 2 A 3 , A 3 A„ A,A 2 . Les quatre 

 points T., U 3 , U' 2 , U' 3 sont sur la circonférence A,. Donc U 2 U 3 est 

 antiparallèle à U' S U' 3 dans l'angle (U 2 U' 2 , U 3 U' 3 ). Mais U 2 U 3 , 

 perpendiculaire au rayon A,w du cercle circonscrit au lrian.nl»' 

 a 2 uua 3 , est aussi antiparallèle à t/.,a 3 dans l'angle (a 2 w, a 3 ou). Comme 

 les angles (U 8 U'j, U B U' 3 ) et (o 2 w, o 3 uj) ont leurs côtés respective- 

 ment parallèles. 1,1', et 0,0.. sont parallèles. De même U' 2 U', et 

 a 2 a,, U',U' 3 et a,a 3 sont deux couples de droites parallèles ; les 

 triangles l ',( " 2 l " 3 et 0,0,01., sont inversement hontothétiqaes. Le 

 centre d'homolhélie est le centre commun uj' de leurs cercles 

 circonscrits, car le centre du cercle 0,0,03 est le point commun 

 aux perpendiculaires abaissées de A,. A,, A . sur o.,o 3 , a 3 a u a,a 2 , 

 et celui du cercle (",1".,!"., l'intersection des perpendiculaires 

 issues de A„ A 2 , A 3 sur L" 2 U' 3 , U',U'„ U',U' 8 . 



uj' a donc pour conjugué isogonal, par rapport à A^Ag, le 

 point commun aux perpendiculaires tracées de A,, A g , A 3 sur 

 U,U„ l J ,, l',i;, c'est-à-dire uj. 



Si uj, par exemple, tombe sur la circonférence A,A 2 A 3 , son 

 conjugué isogonal uj' est rejeté à l'infini, et II',, U' 2 , U' 3 sont en 

 ligne droite. 



Les perpendiculaires (U,U'„ l ,1".,, U 3 U' 3 ) et (0,10, a 2 uj, o 3 uj) a 

 A 2 A 3 , A 3 A M A, A,, déterminent deux points homologues S et uj 

 qui sont, par suite, collinéaires avec uj' ('). 



(') Cette démonstration se rapproche un peu de celte que nous avon< donné.- 

 (Nouvelles Annales i»e Matuimatkjies, 1 * » 1 * * , p. .">, pour déterminer les 

 contacts des sphères tangentes aux quatre plans des faces d'un tétraèdre. L 



