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2. Il est intéressant de rapprocher les développements précé- 

 dents des méthodes de Hermary et de M. Neuberg. 



Pour fixer les idées, soient 1 et I, les centres des sphères inscrite 

 el exinsrrile dans le trièdre Ironqué A, du léîraèdre A,A,A,A 4 . Si 

 l'on rabat 1rs l'arec A ,A . \ . \ , \ ,\,. A.A.A.., sur le plan \,\,\ 3 de 

 manière à écraser la sphère I, les points de contact des faces 

 rabattues viennent coïncider a vec, celui de la face A,A 2 A 3 ; ces 

 points ayant été équidisianls de A 4 , le point de contact de A,A,A :i 

 est le centre lu du cercle passant par les trois rabattements U,, 

 IL, U 3 , de A 4 . Si les rabattements écrasent la sphère 1,, le point 

 de contact de cette sphèr e avec le plan A,A ,A , est le centre lu' du 

 cercle passant par les nouveaux rabattements f',, 1",. I", de A 4 . 

 On voit aussi que les points U, et U'„ U, et Ù'„ U 3 et U' 3 sont les 

 intersections des circonférences décrites des points A,, A,, A 3 

 comme centres avec les rayons A 4 A„ A 4 A.,, A.,A 3 (Hermary), et 

 que les droites 11,11',, U,U',, V J concourent au pied S de la 

 hauteur issue de A 4 . 



Soient p,, p.,, p ;1 et p',, P'.,, P' 3 les coordonnées normales des 

 points de contact lu, lu' du plan A, A, A , avec les sphères letl,, 

 r et r, les rayons de ces sphères, et X,, X,, X :j les dièdres intérieurs 

 A , A ., A ,A,, Â,A, du tétraèdre ; on trouve facilement 



d'Où P,P\ - P,P', — P 3 P' 3 = "V 



Par conséquent, les points lu, lu' sont les foyers d'une conique 

 inscrite au triangle A,A,A 3 dont le demi-petit axe égale V™". 

 (Neuberg, Mémoire sur le tétraèdre, p. 23). 



Si la droite A 4 ll, rencontre le plan A,A,A 3 en K, les points A 4 , 

 I, K, I„ forment une division harmonique et il en est de même de 

 lents projections S, lu, K, lu'. 



K est le centre de similitude 'Diverse des cercles tu, lu', et 



Si l'on pose uW = d et que l'on utilise la valeur précédente du 

 petit axe de la conique de foyers lu, lu' inscrite à A,A ,A 3 . on 

 obtient la relation 



d- = (P — pT — 4»Ti» 



