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II. — Sur des quadruples de simikrks 



Les développements suivants, que nous croyons nouveaux, 

 étendent ce qui précède à l'espace. 



1. Théorème. — Quatre sphères décrites des points A„ A.>, A 3 , A* 

 non situés dans un même plan, comme centres, se coupent, trois à 

 trois, aux points (U„ U\), (U,, U' 8 ), (U 3 , U' 3 ), (U 4 , U' 4 ). Si l'on 

 partage ceux-ci en deux groupes ,h> quatre points 



U^UsU, et U\\J r t U' M U' 4 ; l^U.U.U', et V\V' 9 U' t V 4 ; 

 11,030,1:', et U^U'.U^U, ; U t U s U 4 D', et U'.U'.U'^U, ; 

 /<'.* rentres des deur sphères p,iss<inl jiar des ,/u.tdni /des d'un même 

 grimpe «m/ enn/ngnès isatpman 1 par rapport au tétraèdre A,A,A 3 A, 

 et sont en ligne droite arec le centre radical S des quatre sphères 

 A„ A,, A 3 , A 4 . 



Soient o M a,, a„ a 4 les symétriques du centre w de la sphère 



que uj est sur la droite qui joint A, au centre du cercle circonscrit 

 ;iu Iriaii^li» I ,1 ,1',, détermine aussi avec les arêtes de re tétraèdre 



plans u4ôaLl •Crli->(a^ l ^nlpJ;dlAi.-J, 1 M,^n 1 cr\rVi' 1 

 «I «,«,«,, T 4 I K 0,0,0..,. I',!",! et o,o,.o, sont parai lèles^et 



Le centre d'homothétie est le centre commun ué de leurs 

 sphères circonscrites, car le centre de la sphère a,a 2 a 3 a 4 est le 

 point commun aux perpendiculaires abaissées de A,A.,A.,A 4 respec- 

 tivement sur les plans a.,u. ( a 4 , a.,a 4 a„ 0,0,0.,, 0,0,0,, et celui de la 

 sphère {]\U' ,[]' ^U' 4 l'intersection des perpendiculaires issues des 

 .mêmes points sur des plans parallèle aux précédents. 



