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M', N', F des segments A,A 2 , B 1 B 2 , C^C, concourent en un même 

 point uu. Si X, |u, v sont les angles que fait Ouj avec BC, GA, AB 

 et a, b, c les côtés du triangle, 



BA7 - CÂ7 + BÂT,* - GA? — 2a ( kji + AJÂ) = '2a • Ouj cos X, 

 CB, 2 — AB, 2 + ÏÏE" — AB? = % ■ Ow cos u, 

 ÂGf - BG7 + AC7 - BC? = 2c • Ow cos v ; 



d'où 



(ï) I (BA, 2 CA,* + BA, 2 - GA./) — 20uj (a cos X 



■ -Mcosu + ccosv) = 0 

 Gette relation permet d'abord d'énoncer ce théorème qui géné- 

 ralise une propriété connue : 



On -marque sur les côtés BG, CD. . . , d'un polygone plan ou gauche 

 des points Ai et A,, B t et B,, tels que les perpendiculaires fou 

 les plans perpendiculaires! aux milieu r d,'< sciimnits A,A 2 . B,B 2 . 

 soient concourantes. On a la relation 



t (bâ; 2 — cat 2 + bx 2 — GX 2 ) = 0. 



Pour démontrer cette proposition, il snllil (l'appliquer la rela- 

 tion (1) aux triangles BGI), BDE, et d'additionner les égalités 

 obtenues. 



On sait que les droites F, A,, ¥fi 1% F.C, rencontrent BG, GA, AB 

 sous un même angle 9,, que F, A,, F,B,, C,F., rencontrent ces côtés 

 sous un angle 8 2 . De plus, 



bâ7 - ca7 + cb; 2 - âb; 2 + ac, 2 - m* — — 4 abc C ot. e„ 



M* - ~CX 2 2 4- CE/ - ÂB, 2 + Ââ 2 - K 2 = — 4 ABG cot G 2 . (>) 

 Ges relations transportées dans (1) donnent 9, = — 9... 

 Dans le cas général envisagé dans la relation (1), et plus parti- 

 culièrement dans le théorème de M. Neuberg, les faisceaux 

 F t (A,, B„ G,) et F, (A.,, B.,, G,,) rencontrent donc BG, GA, AB sous 

 un même angle 9, les sens étant contraires. 



(') Third, Proceedings of the Edinburg Matiiematical Society, 1913. 

 pp. 17-34. 



