- m - 



La démonstration s'achève, lorsque A n A 2 , B 15 B 2 , C,, C 2 , sont 

 compliques, en remarquant que les triangles At^B, et AG..B.,, 

 BA^i et BA 2 C,, CA 1 B 1 et GA 2 B, sont semblables. 

 On a, par exemple, les égralités d'angles 

 CF,B, = CA^, — CB.,A, — CF.A,, 

 FjGB, — F^A — CF.B, = 6 — C^B, = 6 — CI-, A., 

 = F 2 A 2 B-CF 2 A 2 = A 2 CF 2 ; 

 et GF 1? CF 2 sont isogonales dans i'angle G- Il en est de même 

 de AF! et A F,, de BF 1 et BF 2 dans les angles A et B. 



2. A„ B„ C, et A,, B,, C, étant deux triples quelconques sur les 

 côtés d'un triangle ABU, soient ui„, uj ft , w c et ou 'a, u/&, w' c les 

 centres des circonférences AB,C„ BG,A,, CA,B, et AB 2 G.,, BC 2 A 2 , 

 CA 2 B 2 . Ces circonférences déterminent doux points F,, F., tels que 

 (BG, A, F,) — (CA, B,F,) = (AB, G, F,) = 8,, 

 (BC, A,F 2 ) = (GA, B s Fo) = (AB, G, F,) = 8,. 

 Les côtés du triangle uu rt uu & uj,,- son! pet 'pendienlairev aux milieux 

 A',, B\, G', des droites F,A M F,B,, F,C,, qui font entre elles les 

 angles (tt — A), (tt — B), (tt — G) ; donc ce triangle est semblable 

 à ABG ; l'angle de similitude est évidemment ^ ™ — 6,^. F, est le 

 point double de ces triangles, car les coordonnées normales de F, 

 par rapport à uuauu^ui^ sont égales à ^ ^ ', et ses 



coordonnées normales par rapport à ABC sont égales à F, A, 

 sin 8 n F,B, sin 9„ F,G t sin 8,. Le rapport de similitude de ui«w iw 

 et ABG est donc égal à %J nQ - 



Le cercle podaire A',B',G, de F,, par rapport à uu,uj6ijue est 

 aussi le cercle podaire de l'inverse V\ de F, ; il a pour centre le 



trique de q> par rapport à F,, c'est-à-dire le point V \. On verrait de 

 même que les triangles u/ a wWe et ABG sont semblables, que F, 

 en est le point double, que l'angle et le rapport de similitude sont 

 respectivement ^ — 8 2 J et 9 ^ 0 • L'angle de similitude de 

 uu fl uj 6 uj c et uuWbw'c est par suite (8, + 8.,). 



